Loading docs/dp/optimization.md +46 −0 Original line number Diff line number Diff line By [hsfzLZH1](https://github.com/hsfzLZH1) 本章主要讲解动态规划的几种基础 ** 优化 ** 方法。 ## 单调队列优化 学习本章前，请务必先学习 [单调队列](https://oi-wiki.org/ds/monotonous-queue/)。 ### 例题 [CF372C Watching Fireworks is Fun](http://codeforces.com/problemset/problem/372/C) 题目大意：城镇中有 $n$ 个位置，有 $m$ 个烟花要放。第 $i$ 个烟花放出的时间记为 $t_i$，放出的位置记为 $a_i$。如果烟花放出的时候，你处在位置 $x$，那么你将收获 $b_i-|a_i-x|$ 点快乐值。 初始你可在任意位置，你每个单位时间可以移动不大于 $d$ 个单位距离。现在你需要最大化你能获得的快乐值。 设 $f_{i,j}$ 表示在放第 $i$ 个烟花时，你的位置在 $j$ 所能获得的最大快乐值。 写出 ** 状态转移方程 **：$f_{i,j}=max\{f_{i-1,k}+b_i-|a_i-j|\}$ 这里的 $k$ 是有范围的，$j-(t_{i+1}-t_i)\times d\le k\le j+(t_{i+1}-t_i)\times d$。 我们尝试将状态转移方程进行变形： 由于 $max$ 里出现了一个确定的常量 $b_i$，我们可以将它提到外面去。 $f_{i,j}=max\{f_{i-1,k}+b_i+|a_i-j|\}=max\{f_{i-1,k}+|a_i-j|\}+b_i$ 如果确定了 $i$ 和 $j$ 的值，那么 $|a_i-j|$ 的值也是确定的，也可以将这一部分提到外面去。 最后，式子变成了这个样子：$f_{i,j}=max\{f_{i-1,k}+|a_i-j|\}+b_i=max\{f_{i-1,k}\}+|a_i-j|+b_i$ 看到这一熟悉的形式，我们想到了什么？** 单调队列优化 **。由于最终式子中的 $max$ 只和上一状态中连续的一段的最大值有关，所以我们在计算一个新的 $i$ 的状态值时候只需将原来的 $f_{i-1}$ 构造成一个单调队列，并维护单调队列，使得其能在均摊 $O(1)$ 的时间复杂度内计算出 $max\{f_{i-1,k}\}$ 的值，从而根据公式计算出 $f_{i,j}$ 的值。 总的时间复杂度为 $O(n\times m)$。 讲完了，让我们归纳一下单调队列优化动态规划问题的基本形态：当前状态的所有值可以从上一个状态的某个连续的段的值得到，要对这个连续的段进行 RMQ 操作，相邻状态的段的左右区间满足非降的关系。 几道练习题（按笔者所认为的难度排序，仅供参考）： [luogu P1886 滑动窗口](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1886) [luogu P2254 [NOI2005] 瑰丽华尔兹](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2254) [luogu P2569 [SCOI2010] 股票交易](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2569) ## 斜率优化 待填充... Loading
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