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### 线性找第 k 大的数

找第 k 大的数，最简单的方法是先排序，然后直接找到第 k 大的位置的元素。这样做的时间复杂度是 $O(N\log N)$ ，对于这个问题来说很不划算。事实上，我们有 $O(n)$ 的解法。

找第 k 大的数（K-th order statistic），最简单的方法是先排序，然后直接找到第 k 大的位置的元素。这样做的时间复杂度是 $O(N\log N)$ ，对于这个问题来说很不划算。事实上，我们有 $O(n)$ 的解法。

考虑快速排序的划分过程，在快速排序的“划分”结束后，数列 $A[p \cdots r]]$ 被分成了 $A[p \cdots q]$ 和 $A[q+1 \cdots r]$ ，此时可以按照左边元素的个数（ $q - p + 1$ ）和 k 的大小关系来判断是只在左边还是只在右边递归地求解。

在 DFS 过程中，通过记录每个节点从哪个点访问而来，可以建立一个树结构，称为 DFS 树。DFS 树是原图的一个生成树。

DFS 树有很多性质，比如用来求[强连通分量](/graph/scc)

DFS 树有很多[性质](/graph/scc/#dfs)，比如用来求[强连通分量](/graph/scc)

## BFS

例题[luogu P2962\[USACO09NOV\]灯 Lights](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2962)

我们正常想，如果这道题暴力 dfs 找开关灯的状态，时间复杂度就是 $O(2^{35})$ , 显然超时。不过，如果我们用**meet-in-middle**的话，时间复杂度将会变为 $O(2^{18} \times 2)$ 而已。**meet-in-middle**就是让我们先找一半的状态，也就是 $1$ 到 $mid$ ( $N$ 的一半）的状态，再找剩下的状态就可以了。我们把前半段的状态全部存储在 $hash$ 表或者 $map$ 里面，然后在找后半段的状态的时候，先判断后半段是不是都合法，就可以判断上半段有没有配对的上半段使得整段合法。

## 经典题目

-   [\[kuangbin 带你飞\] 专题一 简单搜索](https://vjudge.net/contest/65959)

-   [\[kuangbin 带你飞\] 专题二 搜索进阶](https://vjudge.net/contest/65997)