Loading docs/graph/bridge.md +137 −0 Original line number Diff line number Diff line # 割点 ## 什么是割点？ > 如果在一个图中，如果把一个点删除，那么这个图不再联通，那么这个点就是割点（割顶），当然是在无向图。 ## 如何实现？ 如果我们尝试删除每个点，并且判断这个图的联通性，那么复杂度会特别的高。所以要介绍一个常用的算法：$Tarjan$。 首先，我们上一个图：  很容易的看出割点是 ２，而且这个图仅有这一个割点。 首先，我们按照 $DFS$ 序给他打上时间戳（访问的顺序）。  这些信息被我们保存在一个叫做 ```num``` 的数组中。 还需要另外一个数组 ```low```，用它来存储不经过其父亲（你有多个那么就看你遍历到了哪个）能到达的时间戳。 例如 ２ 的话是 １， ５ 和 ６ 是 ３。 然后我们开始 $DFS$，我们判断某个点是否是割点的根据是：对于某个顶点 $u$，如果存在至少一个顶点 $v$ （ $u$ 的儿子），使得 $low_v>=num_u$，即不能回到祖先，那么 $u$ 点为割点。 另外，如果搜到了自己（在环中），如果他有两个及以上的儿子，那么他一定是割点了，如果只有一个儿子，那么把它删掉，不会有任何的影响。比如下面这个图，此处形成了一个环，从树上来讲它有 ２ 个儿子：  我们在访问 １ 的儿子时候，假设先 $DFS$ 到了 ２，然后标记用过，然后递归往下，来到了 ４， ４ 又来到了 ３，当递归回溯的时候，会发现 ３ 已经被访问过了，所以不是割点。 更新 ```low``` 的伪代码如下： ```cpp 如果 v 是 u 的儿子 low[u]=min(low[u],low[v]); 否则 low[u] = min(low[u],num[v]); ``` ## 例题 [洛谷 P3388 【模板】割点（割顶）](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3388) ### Code ```cpp /* 洛谷 P3388 【模板】割点（割顶） 算法： Tarjan 时间：2018 8 22 by @liyifeng */ #include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n,m;//n：点数 m：边数 int num[100001],low[100001],inde,res; //num：记录每个点的时间戳 low：能不经过父亲到达最小的编号，inde：时间戳，res：答案数量 bool vis[100001],flag[100001];//flag: 答案 vis：标记是否重复 vector <int> edge[100001];// 存图用的 void Tarjan(int u,int father)//u 当前点的编号，father 自己爸爸的编号 { vis[u]=true;// 标记 low[u]=num[u]=++inde;// 打上时间戳 int child=0;// 每一个点儿子数量 for(auto v : edge[u])// 访问这个点的所有邻居 （C++11） { if(!vis[v]) { child++;// 多了一个儿子 Tarjan(v,u);// 继续 low[u]=min(low[u],low[v]);// 更新能到的最小节点编号 if(father!=u&&low[v]>=num[u]&&!flag[u])// 主要代码 // 如果不是自己，且不通过父亲返回的最小点符合割点的要求，并且没有被标记过 // 要求即为：删了父亲连不上去了，即为最多连到父亲 { flag[u]=true; res++;// 记录答案 } } else if(v!=father) low[u]=min(low[u],num[v]);// 如果这个点不是自己，更新能到的最小节点编号 } if(father==u&&child>=2&&!flag[u])// 主要代码，自己的话需要 2 个儿子才可以 { flag[u]=true; res++;// 记录答案 } } int main() { cin>>n>>m;// 读入数据 for(int i=1;i<=m;i++)// 注意点是从 1 开始的 { int x,y; cin>>x>>y; edge[x].push_back(y); edge[y].push_back(x); }// 使用 vector 存图 for(int i=1;i<=n;i++)// 因为 Tarjan 图不一定联通 if(!vis[i]) { inde=0;// 时间戳初始为 0 Tarjan(i,i);// 从第 i 个点开始，父亲为自己 } cout<<res<<endl; for(int i=1;i<=n;i++) if(flag[i]) cout<<i<<" ";// 输出结果 for(int i=1;i<=n;i++) cout<<low[i]<<endl; return 0; } ``` # 割边 ## 什么是割边？ 和割点差不多，还叫做割桥。 > 无向联通图中，去掉一条边，图中的连通分量数增加，则这条边，称为桥或者割边，当然也是在无向图。 ## 实现 和割点差不多，只要改一处： $low_v>num_u$ 就可以了，而且不需要考虑根节点的问题。 割边是和是不是根节点没关系的，原来我们求割点的时候是指点 $v$ 是不可能不经过父节点 $u$ 为回到祖先节点（包括父节点），所以顶点 $u$ 是割点。如果 $low_v==num_u$ 表示还可以回到父节点，如果顶点 $v$ 不能回到祖先也没有另外一条回到父亲的路，那么 $u-v$ 这条边就是割边 $Tarjan$ 算法还有许多用途，常用的例如求强连通分量，缩点，还有求 $2-SAT$ 的用途等。 Loading
docs/graph/bridge.md +137 −0 Original line number Diff line number Diff line # 割点 ## 什么是割点？ > 如果在一个图中，如果把一个点删除，那么这个图不再联通，那么这个点就是割点（割顶），当然是在无向图。 ## 如何实现？ 如果我们尝试删除每个点，并且判断这个图的联通性，那么复杂度会特别的高。所以要介绍一个常用的算法：$Tarjan$。 首先，我们上一个图：  很容易的看出割点是 ２，而且这个图仅有这一个割点。 首先，我们按照 $DFS$ 序给他打上时间戳（访问的顺序）。  这些信息被我们保存在一个叫做 ```num``` 的数组中。 还需要另外一个数组 ```low```，用它来存储不经过其父亲（你有多个那么就看你遍历到了哪个）能到达的时间戳。 例如 ２ 的话是 １， ５ 和 ６ 是 ３。 然后我们开始 $DFS$，我们判断某个点是否是割点的根据是：对于某个顶点 $u$，如果存在至少一个顶点 $v$ （ $u$ 的儿子），使得 $low_v>=num_u$，即不能回到祖先，那么 $u$ 点为割点。 另外，如果搜到了自己（在环中），如果他有两个及以上的儿子，那么他一定是割点了，如果只有一个儿子，那么把它删掉，不会有任何的影响。比如下面这个图，此处形成了一个环，从树上来讲它有 ２ 个儿子：  我们在访问 １ 的儿子时候，假设先 $DFS$ 到了 ２，然后标记用过，然后递归往下，来到了 ４， ４ 又来到了 ３，当递归回溯的时候，会发现 ３ 已经被访问过了，所以不是割点。 更新 ```low``` 的伪代码如下： ```cpp 如果 v 是 u 的儿子 low[u]=min(low[u],low[v]); 否则 low[u] = min(low[u],num[v]); ``` ## 例题 [洛谷 P3388 【模板】割点（割顶）](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3388) ### Code ```cpp /* 洛谷 P3388 【模板】割点（割顶） 算法： Tarjan 时间：2018 8 22 by @liyifeng */ #include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n,m;//n：点数 m：边数 int num[100001],low[100001],inde,res; //num：记录每个点的时间戳 low：能不经过父亲到达最小的编号，inde：时间戳，res：答案数量 bool vis[100001],flag[100001];//flag: 答案 vis：标记是否重复 vector <int> edge[100001];// 存图用的 void Tarjan(int u,int father)//u 当前点的编号，father 自己爸爸的编号 { vis[u]=true;// 标记 low[u]=num[u]=++inde;// 打上时间戳 int child=0;// 每一个点儿子数量 for(auto v : edge[u])// 访问这个点的所有邻居 （C++11） { if(!vis[v]) { child++;// 多了一个儿子 Tarjan(v,u);// 继续 low[u]=min(low[u],low[v]);// 更新能到的最小节点编号 if(father!=u&&low[v]>=num[u]&&!flag[u])// 主要代码 // 如果不是自己，且不通过父亲返回的最小点符合割点的要求，并且没有被标记过 // 要求即为：删了父亲连不上去了，即为最多连到父亲 { flag[u]=true; res++;// 记录答案 } } else if(v!=father) low[u]=min(low[u],num[v]);// 如果这个点不是自己，更新能到的最小节点编号 } if(father==u&&child>=2&&!flag[u])// 主要代码，自己的话需要 2 个儿子才可以 { flag[u]=true; res++;// 记录答案 } } int main() { cin>>n>>m;// 读入数据 for(int i=1;i<=m;i++)// 注意点是从 1 开始的 { int x,y; cin>>x>>y; edge[x].push_back(y); edge[y].push_back(x); }// 使用 vector 存图 for(int i=1;i<=n;i++)// 因为 Tarjan 图不一定联通 if(!vis[i]) { inde=0;// 时间戳初始为 0 Tarjan(i,i);// 从第 i 个点开始，父亲为自己 } cout<<res<<endl; for(int i=1;i<=n;i++) if(flag[i]) cout<<i<<" ";// 输出结果 for(int i=1;i<=n;i++) cout<<low[i]<<endl; return 0; } ``` # 割边 ## 什么是割边？ 和割点差不多，还叫做割桥。 > 无向联通图中，去掉一条边，图中的连通分量数增加，则这条边，称为桥或者割边，当然也是在无向图。 ## 实现 和割点差不多，只要改一处： $low_v>num_u$ 就可以了，而且不需要考虑根节点的问题。 割边是和是不是根节点没关系的，原来我们求割点的时候是指点 $v$ 是不可能不经过父节点 $u$ 为回到祖先节点（包括父节点），所以顶点 $u$ 是割点。如果 $low_v==num_u$ 表示还可以回到父节点，如果顶点 $v$ 不能回到祖先也没有另外一条回到父亲的路，那么 $u-v$ 这条边就是割边 $Tarjan$ 算法还有许多用途，常用的例如求强连通分量，缩点，还有求 $2-SAT$ 的用途等。
