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### 错误率

若进行 $n$ 次比较，每次错误率 $\frac 1 M$ ，那么总错误率是 $1-\left(1-\frac 1 M\right)^n$ 。在随机数据下，若 $M=10^9 + 7$ , $n=10^6$ ，错误率约为 $\frac 1{1000}$ ，并不是能够完全忽略不计的。

若进行 $n$ 次比较，每次错误率 $\dfrac 1 M$ ，那么总错误率是 $1-\left(1-\dfrac 1 M\right)^n$ 。在随机数据下，若 $M=10^9 + 7$ , $n=10^6$ ，错误率约为 $\dfrac 1{1000}$ ，并不是能够完全忽略不计的。

所以，进行字符串哈希时，经常会对两个大质数分别取模，这样的话哈希函数的值域就能扩大到两者之积，错误率就非常小了。

这个问题可以使用 [manacher 算法](./manacher.md) 在 $O(n)$ 的时间内解决。

### 确定字符串中不同子字符串的数量

问题：给定长为 $n$ 的字符串，仅由小写英文字母组成，查找该字符串中不同子串的数量。

为了解决这个问题，我们遍历了所有长度为 $l=1,\cdots ,n$ 的子串。对于每个长度为 $l$ ，我们将其 Hash 值乘以相同的 $b$ 的幂次方，并存入一个数组中。数组中不同元素的数量等于字符串中长度不同的子串的数量，并此数字将添加到最终答案中。

为了方便起见，我们将使用 $h [i]$ 作为 Hash 的前缀字符，并定义 $h[0]=0$ 。

??? note "参考代码"

    ```cpp

    int count_unique_substrings(string const& s) {

      int n = s.size();

      const int b = 31;

      const int m = 1e9 + 9;

      vector<long long> b_pow(n);

      b_pow[0] = 1;

      for (int i = 1; i < n; i++) b_pow[i] = (b_pow[i - 1] * b) % m;

      vector<long long> h(n + 1, 0);

      for (int i = 0; i < n; i++)

        h[i + 1] = (h[i] + (s[i] - 'a' + 1) * b_pow[i]) % m;

      int cnt = 0;

      for (int l = 1; l <= n; l++) {

        set<long long> hs;

        for (int i = 0; i <= n - l; i++) {

          long long cur_h = (h[i + l] + m - h[i]) % m;

          cur_h = (cur_h * b_pow[n - i - 1]) % m;

          hs.insert(cur_h);

        }

        cnt += hs.size();

      }

      return cnt;

    }

    ```

### 例题

???+note "[CF1200E Compress Words](http://codeforces.com/contest/1200/problem/E)"

          cout << cur;

        }

        ```

 **本页面部分内容译自博文 [строковый хеш](https://github.com/e-maxx-eng/e-maxx-eng/blob/61aff51f658644424c5e1b717f14fb7bf054ae80/src/string/string-hashing.md) 与其英文翻译版 [String Hashing](https://cp-algorithms.com/string/string-hashing.html) 。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。**