补充

```

## 筛法求莫比乌斯函数

#### 线性筛

```cpp

void pre(){

    mu[1] = 1;

    for(int i = 2; i <= 1e7; ++i) {

        if(!v[i]) mu[i] = -1, p[++tot] = i;

        for(int j = 1; j <= tot && i <= 1e7/p[j]; ++j){

            v[i * p[j]] = 1;

            if(i % p[j] == 0) {

                mu[i * p[j]] = 0;

                break;

            }

            mu[i * p[j]] = -mu[i];

        }

    }

```

## 筛法求约数个数

## 筛法求约数和

$f_i$表示$i$的约数和

$g_i$表示$i$的最小质因子的$p+p^1+p^2+\dots p^k$

```cpp

void pre() {

    g[1] = f[1] = 1;

    for(int i = 2; i <= n; ++i) {

        if(!v[i]) v[i] = 1, p[++tot] = i, g[i] = i + 1, f[i] = i + 1;

        for(int j = 1; j <= tot && i <= n / p[j]; ++j) {

            v[p[j] * i] = 1;

            if(i % p[j] == 0) {

                g[i * p[j]] = g[i] * p[j] + 1;

                f[i * p[j]] = f[i] / g[i] * g[i * p[j]];

                break;

            } else {

                f[i * p[j]] = f[i] * f[p[j]];

                g[i * p[j]] = 1 + p[j];

            }

        }

    }

    for(int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = (f[i - 1] + f[i]) % Mod;

}

```

## 其他线性函数