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解释一下本文可能用到的符号：$\wedge$ 逻辑与，$\vee$ 逻辑或。

## 关于段的问题

我们由一个小清新的问题引入：

> 对于一个 1-n 的排列，我们称一个值域连续的区间为段。问一个排列的段的个数。比如，$\{5 ,3 ,4, 1 ,2\}$ 的段有：[1,1],[2,2],[3,3],[4,4],[5,5],[2,3],[4,5],[1,3],[2,5],[1,5]。

> 对于一个 1-n 的排列，我们称一个值域连续的区间为段。问一个排列的段的个数。比如，$\{5 ,3 ,4, 1 ,2\}$ 的段有：$[1,1],[2,2],[3,3],[4,4],[5,5],[2,3],[4,5],[1,3],[2,5],[1,5]$。

看到这个东西，感觉要维护区间的值域集合，复杂度好像挺不友好的。线段树可以查询某个区间是否为段，但不太能统计段的个数（也可能是因为我太菜了不会用线段树）

(\nexists\ x,z\in[l,r],y\notin[l,r],\ P_x<P_y<P_z)

$$

特别地，当 $l>r$ 时，我们认为这时一个空的连续段，记作 $(P,\varnothing)$。

特别地，当 $l>r$ 时，我们认为这是一个空的连续段，记作 $(P,\varnothing)$。

我们称排列 P 的所有连续段的集合为 $I_P$. 并且我们认为 $(P,\varnothing)\in I_P$. 

我们称排列 P 的所有连续段的集合为 $I_P$，并且我们认为 $(P,\varnothing)\in I_P$。

### 连续段的运算

1.  $A\subseteq B\Leftrightarrow x\le a\wedge b\le y$. 

2.  $A=B\Leftrightarrow a=x\wedge b=y$. 

3.  $A\cap B=(P,[\max(a,x),\min(b,y)])$. 

4.  $A\cup B=(P,[min(a,x),\max(b,y)])$. 

4.  $A\cup B=(P,[\min(a,x),\max(b,y)])$. 

5.  $A\setminus B=(P,\{i|i\in[a,b]\wedge i\notin[x,y]\})$. 

其实这些运算就是普通的集合交并差放在区间上而已。

### 连续段的性质

连续段的一些显而易见的性质。我们定义 $A,B\in I_P$，那么有 $A\cup B,A\cap B,A\setminus B,B\setminus A\in I_P$. 

连续段的一些显而易见的性质。我们定义 $A,B\in I_P$，那么有 $A\cup B,A\cap B,A\setminus B,B\setminus A\in I_P$。

证明？证明的本质就是集合的交并差的运算。

其实这个定义全称叫作**本原连续段**。但笔者认为本原段更为简洁。

对于排列 P，我们认为一个本原段 $M$ 表示在集合 $I_P$ 中，不存在与之相交且不包含的连续段。形式化地定义，我们认为 $X\in I_P$ 且满足 $\forall A\in I_P,\ X\cap A= (P,\varnothing)\vee X\subseteq A\vee A\subseteq X$. 

对于排列 P，我们认为一个本原段 $M$ 表示在集合 $I_P$ 中，不存在与之相交且不包含的连续段。形式化地定义，我们认为 $X\in I_P$ 且满足 $\forall A\in I_P,\ X\cap A= (P,\varnothing)\vee X\subseteq A\vee A\subseteq X$。

所有本原段的集合为 $M_P$. 显而易见，$(P,\varnothing)\in M_P$. 

所有本原段的集合为 $M_P$. 显而易见，$(P,\varnothing)\in M_P$。

显然，本原段之间只有相离或者包含关系。并且你发现**一个连续段可以由几个互不相交的本原段构成**。最大的本原段就是整个排列本身，它包含了其他所有本原段，因此我们认为本原段可以构成一个树形结构，我们称这个结构为**析合树**。更严格地说，排列 P 的析合树由排列 P 的**所有本原段**组成。

1. **值域区间**：对于一个结点 u，用 $[u_l,u_r]$ 表示该结点的值域区间。

2. **儿子序列**：对于析合树上的一个结点 u，假设它的儿子结点是一个**有序**序列，该序列是以值域区间为元素的（单个的数 x 可以理解为 $[x,x]$ 的区间）。我们把这个序列称为儿子序列。记作 $S_u$。

3. **儿子排列**：对于一个儿子序列 $S_u$，把它的元素离散化成正整数后形成的排列称为儿子排列。举个例子，对于结点 $[5,8]$，它的儿子序列为 $\{[5,5],[6,7],[8,8]\}$，那么把区间排序标个号，则它的儿子排列就为 $\{1,2,3\}$；类似的，结点 $[4,8]$ 的儿子排列为 $\{2,1\}$。结点 u 的儿子排列记为 $P_u$.

3. **儿子排列**：对于一个儿子序列 $S_u$，把它的元素离散化成正整数后形成的排列称为儿子排列。举个例子，对于结点 $[5,8]$，它的儿子序列为 $\{[5,5],[6,7],[8,8]\}$，那么把区间排序标个号，则它的儿子排列就为 $\{1,2,3\}$；类似的，结点 $[4,8]$ 的儿子排列为 $\{2,1\}$。结点 u 的儿子排列记为 $P_u$。

4. **合点**：我们认为，儿子排列为顺序或者逆序的点为合点。形式化地说，满足 $P_u=\{1,2,\cdots,|S_u|\}$ 或者 $P_u=\{|S_u|,|S_u-1|,\cdots,1\}$ 的点称为合点。**叶子结点没有儿子排列，我们也认为它是合点**。

5. **析点**：不是合点的就是析点。

### 析点与合点的性质

析点与合点的命名来源于他们的性质。首先我们有一个非常显然的性质：对于析合树中任何的结点 u，其儿子序列区间的并集就是结点 u 的值域区间。即 $\bigcup_{i=1}^{|S_u|}S_u[i]=[u_l,u_r]$. 

析点与合点的命名来源于他们的性质。首先我们有一个非常显然的性质：对于析合树中任何的结点 u，其儿子序列区间的并集就是结点 u 的值域区间。即 $\bigcup_{i=1}^{|S_u|}S_u[i]=[u_l,u_r]$。

对于一个合点 u：其儿子序列的任意**子区间**都构成一个**连续段**。形式化地说，对于 $S_u[l\sim r]$，有 $\bigcup_{i=l}^rS_u[i]\in I_P$。

#### 增量法

我们考虑增量法。用一个栈维护前 i-1 个元素构成的析合森林。在这里我需要**着重强调**，析合森林的意思是，在任何时侯，栈中结点要么是析点要么是合点。现在考虑当前结点 $P_i$。

我们考虑增量法。用一个栈维护前 $i-1$ 个元素构成的析合森林。在这里我需要**着重强调**，析合森林的意思是，在任何时侯，栈中结点要么是析点要么是合点。现在考虑当前结点 $P_i$。

1. 我们先判断它能否成为栈顶结点的儿子，如果能就变成栈顶的儿子，然后把栈顶取出，作为当前结点。重复上述过程直到栈空或者不能成为栈顶结点的儿子。

2. 如果不能成为栈顶的儿子，就看能不能把栈顶的若干个连续的结点都合并成一个结点（判断能否合并的方法在后面），把合并后的点，作为当前结点。

如果无法成为栈顶结点的儿子，那么我们就看栈顶连续的若干个点能否与当前点一起合并。我们预处理一个数组 $L$，$L_i$ 表示右端点下标为 $i$ 的连续段中，左端点的最小值。当前结点为 $P_i$ ，栈顶结点记为 $t$。

1. 如果 $t_l<L_i$ 那么显然当前结点无法合并；

2. 如果 $t_l=L$，那么这就是两个结点合并，合并后就是一个**合点**。

3. 如果在栈中存在一个点 $t'$ 的左端点 ${t'}_l=L_i$，那么一定可以从当前结点合并到 $t’$ 形成一个**析点**。

2. 如果 $t_l=L$，那么这就是两个结点合并，合并后就是一个**合点**；

3. 如果在栈中存在一个点 $t'$ 的左端点 ${t'}_l=L_i$，那么一定可以从当前结点合并到 $t’$ 形成一个**析点**；

4. 否则，我们找到栈中的一个点 $t'$ 使得 ${t'}_l<L_i\le {t'}_r$。由连续段的差运算可知 $(P,[{t'}_r+1,i])$ 也是连续段，于是合并 $t'$ 之后的结点到当前结点成一个**析点**即可。

#### 判断能否合并

### 实现

最后放一个实现的代码供参考。代码转自[大米饼的博客](https://www.cnblogs.com/Paul-Guderian/p/11020708.html). 被我加了一些注释

最后放一个实现的代码供参考。代码转自[大米饼的博客](https://www.cnblogs.com/Paul-Guderian/p/11020708.html)，被我加了一些注释。

```cpp

#include<bits/stdc++.h>