Loading docs/math/euler.md +24 −17 Original line number Diff line number Diff line 欧拉函数是什么？ $\phi(n)$ 表示的是小于等于 $n$ 和 $n$ 互质的数的个数。 欧拉函数是什么？ $\varphi(n)$ 表示的是小于等于 $n$ 和 $n$ 互质的数的个数。 比如说 $\phi(1) = 1$。 比如说 $\varphi(1) = 1$。 当 n 是质数的时候，显然有 $\phi(n) = n - 1$ 当 n 是质数的时候，显然有 $\varphi(n) = n - 1$。 利用唯一分解定理，我们可以把一个整数唯一地分解为质数幂次的乘积， 设 $n = p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_s^{k_s}$，其中 $p_i$ 是质数，那么定义 $\phi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\frac{p_i - 1}{p_i}}$ 设 $n = p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_s^{k_s}$，其中 $p_i$ 是质数，那么定义 $\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\frac{p_i - 1}{p_i}}$ ### 欧拉函数的一些神奇性质 - 欧拉函数是积性函数 积性是什么意思呢？如果有 $\gcd(a, b) = 1$，那么 $\phi(a \times b) = \phi(a) \times \phi(b)$ 特别地，当 $n$ 是奇数时 $\phi(2n) = 2 \times \phi(n)$ - 欧拉函数是积性函数。 积性是什么意思呢？如果有 $\gcd(a, b) = 1$，那么 $\varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b)$。 特别地，当 $n$ 是奇数时 $\varphi(2n) = 2 \times \varphi(n)$。 - $n = \sum_{d | n}{\varphi(d)}$ 利用 [莫比乌斯反演](/math/mobius/) 相关知识可以得出。 - $n = \sum_{d | n}{\phi(d)}$ 利用 [莫比乌斯反演](./mobius/) 相关知识可以得出 也可以这样考虑：如果 $\gcd(k, n) = d$，那么 $\gcd(\frac{k}{d},\frac{n}{d}) = 1$。（$k < n$） 如果我们设 $f(x)$ 表示 $\gcd(k, n) = x$ 的数的个数，那么 $n = \sum_{i = 1}^n{f(x)}$。 根据上面的证明，我们发现，$f(x) = \phi(\frac{n}{x})$，从而 $n = \sum_{d | n}\phi(\frac{n}{d})$。注意到约数 $d$ 和 $\frac{n}{d}$ 具有对称性，所以上式化为 $n = \sum_{d | n}\phi(d)$ - 若 $n = p^k$，其中 $p$ 是质数，那么 $\phi(n) = p^k - p^{k - 1}$。 根据上面的证明，我们发现，$f(x) = \varphi(\frac{n}{x})$，从而 $n = \sum_{d | n}\varphi(\frac{n}{d})$。注意到约数 $d$ 和 $\frac{n}{d}$ 具有对称性，所以上式化为 $n = \sum_{d | n}\varphi(d)$。 - 若 $n = p^k$，其中 $p$ 是质数，那么 $\varphi(n) = p^k - p^{k - 1}$。 （根据定义可知） ### 如何求欧拉函数值 如果只要求一个数的欧拉函数值，那么直接根据定义质因数分解的同时求就好了 如果只要求一个数的欧拉函数值，那么直接根据定义质因数分解的同时求就好了。 如果是多个数的欧拉函数值，可以利用后面会提到的线性筛法来求得。 Loading
docs/math/euler.md +24 −17 Original line number Diff line number Diff line 欧拉函数是什么？ $\phi(n)$ 表示的是小于等于 $n$ 和 $n$ 互质的数的个数。 欧拉函数是什么？ $\varphi(n)$ 表示的是小于等于 $n$ 和 $n$ 互质的数的个数。 比如说 $\phi(1) = 1$。 比如说 $\varphi(1) = 1$。 当 n 是质数的时候，显然有 $\phi(n) = n - 1$ 当 n 是质数的时候，显然有 $\varphi(n) = n - 1$。 利用唯一分解定理，我们可以把一个整数唯一地分解为质数幂次的乘积， 设 $n = p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_s^{k_s}$，其中 $p_i$ 是质数，那么定义 $\phi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\frac{p_i - 1}{p_i}}$ 设 $n = p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_s^{k_s}$，其中 $p_i$ 是质数，那么定义 $\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\frac{p_i - 1}{p_i}}$ ### 欧拉函数的一些神奇性质 - 欧拉函数是积性函数 积性是什么意思呢？如果有 $\gcd(a, b) = 1$，那么 $\phi(a \times b) = \phi(a) \times \phi(b)$ 特别地，当 $n$ 是奇数时 $\phi(2n) = 2 \times \phi(n)$ - 欧拉函数是积性函数。 积性是什么意思呢？如果有 $\gcd(a, b) = 1$，那么 $\varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b)$。 特别地，当 $n$ 是奇数时 $\varphi(2n) = 2 \times \varphi(n)$。 - $n = \sum_{d | n}{\varphi(d)}$ 利用 [莫比乌斯反演](/math/mobius/) 相关知识可以得出。 - $n = \sum_{d | n}{\phi(d)}$ 利用 [莫比乌斯反演](./mobius/) 相关知识可以得出 也可以这样考虑：如果 $\gcd(k, n) = d$，那么 $\gcd(\frac{k}{d},\frac{n}{d}) = 1$。（$k < n$） 如果我们设 $f(x)$ 表示 $\gcd(k, n) = x$ 的数的个数，那么 $n = \sum_{i = 1}^n{f(x)}$。 根据上面的证明，我们发现，$f(x) = \phi(\frac{n}{x})$，从而 $n = \sum_{d | n}\phi(\frac{n}{d})$。注意到约数 $d$ 和 $\frac{n}{d}$ 具有对称性，所以上式化为 $n = \sum_{d | n}\phi(d)$ - 若 $n = p^k$，其中 $p$ 是质数，那么 $\phi(n) = p^k - p^{k - 1}$。 根据上面的证明，我们发现，$f(x) = \varphi(\frac{n}{x})$，从而 $n = \sum_{d | n}\varphi(\frac{n}{d})$。注意到约数 $d$ 和 $\frac{n}{d}$ 具有对称性，所以上式化为 $n = \sum_{d | n}\varphi(d)$。 - 若 $n = p^k$，其中 $p$ 是质数，那么 $\varphi(n) = p^k - p^{k - 1}$。 （根据定义可知） ### 如何求欧拉函数值 如果只要求一个数的欧拉函数值，那么直接根据定义质因数分解的同时求就好了 如果只要求一个数的欧拉函数值，那么直接根据定义质因数分解的同时求就好了。 如果是多个数的欧拉函数值，可以利用后面会提到的线性筛法来求得。
