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定义势能函数 $\Phi(S)=\sum\limits_{x\in S}\Phi(x)$ ，其中 $S$ 表示一整个并查集，而 $x$ 为并查集中的一个节点。定义 $\Phi(x)$ 为：

$$

\Phi(x)=\left\{

\begin{aligned}

&\alpha(n)\times rnk(x)& &rnk(x)=0\text{ 或 x为某棵树的根节点}&\\

&(\alpha(n)-level(x))\times rnk(x)-iter(x)& &otherwise&

\end{aligned}\right.

\Phi(x)=

\begin{cases}

\alpha(n)\times \mathit{rnk}(x)& \mathit{rnk}(x)=0\text{或}x\text{为某棵树的根节点}&\\

(\alpha(n)-\mathit{level}(x))\times \mathit{rnk}(x)-iter(x)& \mathit{otherwise}&

\end{cases}

$$

然后就是通过操作引起的势能变化来证明摊还时间复杂度为 $\Theta(\alpha(n))$ 啦。注意，这里我们讨论的 $union(x,y)$ 操作保证了 $x$ 和 $y$ 都是某个树的根，因此不需要额外执行 $find(x)$ 和 $find(y)$ 。

    - 链表: ds/linked-list.md

    - 哈希表: ds/hash.md

    - 并查集: ds/dsu.md

    - 并查集时间复杂度证明: ds/dsu-complexity.md

    - 堆:

      - 堆简介: ds/heap.md

      - 二叉堆: ds/binary-heap.md