feat: 图的基本概念

那么什么是前向星呢？事先把 `edge` 数组排个序即可。这里可以使用[基数排序](/basic/sort)做到 $O(m)$ 。

## 一些跟图有关的定义

## 图的基本概念

### 路径

有向图 $G$ 弱连通是指， $G$ 中的所有边替换为无向边后， $G$ 为连通图。

### 点联通度

一张图的点联通度的大小等于最小点割集的大小。

### 边联通度

一张图的边联通度的大小等于最小边割集的大小。

### 子图

选取一个节点的子集和边的子集构成的图。

### 完全图

 $m = \frac{n(n-1)}{2}$ 的简单无向图。

设 $D$ 为 $n (n \geq 1)$ 阶无向简单图，弱 $G$ 中每个顶点均与其余的 $n-1$ 个顶点相邻，则称 $D$ 为 $n$ 阶无向完全图。

无向完全图的点数和边数满足这样的关系： $m = \frac{n(n-1)}{2}$。

设 $D$ 为 $n (n \geq 1)$ 阶有向简单图，若对于任意的 $v_i, v_j \in V(D)(v_i \neq v_j)$，有向边 $<v_i, v_j>$ 和 $<v_j, v_i>$ 均属于 $E(D)$，则称 $D$ 为 $n$ 阶有向完全图。

### 竞赛图

设 $D$ 为 $n (n \geq 1)$ 阶有向简单图，若对于任意的 $v_i, v_j \in V(D)(v_i \neq v_j)$，有向边 $<v_i, v_j>$ 和 $<v_j, v_i>$ 中有且仅有一个属于 $E(D)$，则称 $D$ 为 $n$ 阶竞赛图。

### 路径的长度

两个节点之间，长度最小的路径。

【注】：不一定存在，不一定唯一。

### 图论基本定理

又称握手定理。设 $G=<V, E>$ 为一个无向图，$V= \{v_1, v_2, \cdots, v_n\}, |E| = m$，则$\sum_{i=1}^n{d(v_i)}=2m$。其中 $d(v)$ 表示 v 的度数。

### 可图化

如果给定一个序列 a，可以找到一个图 G，以其为度数列，则称 a 是可图化的。

如果给定一个序列 a，可以找到一个简单图 G，以其为度数列，则称 a 是可简单图化的。

#### 判断

$a=(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ 可图化当且仅当 $\sum_{i=1}^n{d_i} = 0 \pmod 2$

$a=(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ 可简单图化当且仅当 $a'=(a_2 - 1, a_3 - 1, \cdots, a_{a_1+1} - 1, a_{a_1+2} - 1, \cdots, a_n)$ 是可简单图化的。

### Whitney 定理

对任意的图 $G$，有 $\kappa \leq \lambda \leq \delta$。其中 $\kappa, \lambda, \delta$ 分别为 $G$ 的点联通度，边联通度和最小度。

在阅读下列内容之前，请务必了解[图论基础](/graph/basic)部分。

相关阅读：[割点和桥](/graph/bridge/)

## 定义

在一张联通的无向图中，如果将一条边删去后，原图变成不联通的两部分，我们就说这条边是**桥**。

## 定义

二分图的英文名叫 Bipartite graph。

二分图，又称二部图，英文名叫 Bipartite graph。

二分图是什么？节点由两个集合组成，且两个集合内部没有边的图。

给出一个图，问其中的有 $n$ 个节点构成的边权和最小的环 $(n\ge 3)$ 是多大。

图的最小环也称围长。

### 暴力解法

设 $u$ 和 $v$ 之间有一条边长为 $w$ 的边， $dis(u,v)$ 表示删除 $u$ 和 $v$ 之间的连边之后， $u$ 和 $v$ 之间的最短路。