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设 $\displaystyle \operatorname{g}(n)=\sum_{d\mid n} d\cdot\varphi(d)$ ，已知 $\operatorname{g}$ 为积性函数，于是可以 $\Theta(n)$ 筛出。每次询问 $\Theta(1)$ 计算即可。

这个函数筛的时候比较特殊，当 $p_j\mid i$ 的时候，需要根据 $p_j\mid\dfrac{i}{p_j}$ 进行分类讨论。具体可以见代码。

下面给出这个函数筛法的推导过程:

首先考虑 $\operatorname g(p_j^k)$ 的值，显然它的约数只有 $p_j^0,p_j^1,\cdots,p_j^k$，因此

$$

\operatorname g(p_j^k)=\sum_{w=0}^{k}p_j^w\cdot\varphi(p_j^w)

$$

又有 $\varphi(p_j^w)=p_j^{w-1}\cdot(p_j-1)$，则原式可化为

$$

\sum_{w=0}^{k}p_j^{2w-1}\cdot(p_j-1)

$$

于是有

$$

\operatorname g(p_j^{k+1})=g(p_j^k)+p_j^{2k+1}\cdot(p_j-1)

$$

那么，对于线性筛中的 $\operatorname g(i\cdot p_j)(p_j|i)$，令 $i=a\cdot p_j^w(\operatorname{gcd}(a,p_j)=1)$，可得

$$

\operatorname g(i\cdot p_j)=\operatorname g(a)\cdot\operatorname g(p_j^{w+1})

$$

$$

\operatorname g(i)=\operatorname g(a)\cdot\operatorname g(p_j^w)

$$

即

$$

\operatorname g(i\cdot p_j)-\operatorname g(i)=\operatorname g(a)\cdot p_j^{2w+1}\cdot(p_j-1)

$$

同理有

$$

\operatorname g(i)-\operatorname g(\frac{i}{p_j})=\operatorname g(a)\cdot p_j^{2w-1}\cdot(p_j-1)

$$

因此

$$

\operatorname g(i\cdot p_j)=\operatorname g(i)+(\operatorname g(i)-\operatorname g(\frac{i}{p_j}))\cdot p_j^2

$$

 **时间复杂度** ： $\Theta(n+T)$ 

        for (int j = 1; j <= tot && i * p[j] <= N; ++j) {

          flg[i * p[j]] = 1;

          if (i % p[j] == 0) {

            if ((i / p[j]) % p[j] == 0) {

            g[i * p[j]] = g[i] + (g[i] - g[i / p[j]]) * p[j] * p[j];

            } else {

              g[i * p[j]] = g[i] + g[i / p[j]] * (p[j] - 1) * p[j] * p[j] * p[j];

            }

            break;

          }

          g[i * p[j]] = g[i] * g[p[j]];