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# 替罪羊树

**替罪羊树**是一种依靠重构操作维持平衡的重量平衡树。替罪羊树会在插入、删除操作时，检测途经的所有节点，若发现失衡，则将以该节点为根的子树重构。

**替罪羊树**是一种依靠重构操作维持平衡的重量平衡树。替罪羊树会在插入、删除操作时，检测途经的节点，若发现失衡，则将以该节点为根的子树重构。

我们在此实现一个可重的权值平衡树。

 wn[MAXN], // 本数据出现次数（为 0 代表已删除）

  s[MAXN], // 以本节点为根的子树大小

 sd[MAXN]; // 已删除节点不计的子树大小

void Calc(int k) {

// 重新计算以 k 为根的子树大小

 s[k] = s[lc[k]] + s[rc[k]] + wn[k];

 sd[k] = sd[lc[k]] + sd[rc[k]] + wn[k];

}

```

## 重构

首先，如前所述，我们需要判定一个节点是否需要重构。为此我们引入一个比例常数 $\alpha$（取值在 $$(0.5,1)），如某节点的子节点大小占它本身大小的比例超过 $\alpha$，则重构。

首先，如前所述，我们需要判定一个节点是否应重构。为此我们引入一个比例常数 $\alpha$（取值在 $(0.5,1)$，一般采用 $0.7$ 或 $0.8$），若某节点的子节点大小占它本身大小的比例超过 $\alpha$，则重构。

另外由于我们采用惰性删除（删除只使用 `wn[i]--`），已删除节点过多也影响效率。因此如果未被删除的子树大小占子树总大小的比例低于 $\alpha$，则亦重构。

另外由于我们采用惰性删除（删除只使用 `wn[k]--`），已删除节点过多也影响效率。因此若未被删除的子树大小占总大小的比例低于 $\alpha$，则亦重构。

``` cpp

inline bool CanRbu(int k) {

// 判断节点 k 是否需要重构

 return wn[k] && (alpha * s[k] <= (double)std::max(s[lc[k]], s[rc[k]])

  || alpha * s[k] >= (double)sd[k]);

  || (double)sd[k] <= alpha * s[k]);

}

```

}

int Rbu_Build(int l, int r) {

// 将数组内 [l, r) 区间重建成树

 int mid = l + r >> 1;

// 将 ldr[] 数组内 [l, r) 区间重建成树，返回根节点

 int mid = l + r >> 1; // 选取中间为根使其平衡

 if(l >= r) return 0;

 lc[ldr[mid]] = Rbu_Build(l, mid);

 rc[ldr[mid]] = Rbu_Build(mid + 1, r);

 if(l + 1 == r) s[ldr[mid]] = sd[ldr[mid]] = wn[ldr[mid]];

 else Calc(ldr[mid]);

 rc[ldr[mid]] = Rbu_Build(mid + 1, r); // 建左右子树

 Calc(ldr[mid]);

 return ldr[mid];

}

## 基本操作

几种操作的处理方式较为类似，都规定了**到达空结点**与**找到对应结点**的行为，之后按**小于向左、大于向右**的方式向下递归。

### 插入

插入时，从根节点向下寻找插入元素位置。如没有相同元素则新建节点，如有则直接 `wn[k]++`。最后，途经的可重构节点进行重构。

插入时，到达空结点则新建节点，找到对应结点则 `wn[k]++`。递归结束后，途经的节点可重构的要重构。

``` cpp

void Ins(int& k, int p) {

### 删除

惰性删除，可以采用 `wn[k]--`。在最后沿途可重构节点要重构。

惰性删除，到达空结点则忽略，找到对应结点则 `wn[k]--`。递归结束后，可重构节点要重构。

``` cpp

void Del(int& k, int p) {

### upper_bound

返回权值严格大于某值的最小数的名次。每到一个节点，若查找值等于该节点权值，则返回该节点之后的名次。小于则向左走，大于则向右走。

返回权值严格大于某值的最小名次。

到达空结点则返回 1，因为只有该子树左边的数均小于查找数才会递归至此。找到对应结点，则返回该节点所占据的最后一个名次 + 1。

``` cpp

int MyUprBd(int k, int p) {

 else if(p < w[k]) return MyUprBd(lc[k], p);

 else return sd[lc[k]] + wn[k] + MyUprBd(rc[k], p);

}

```

以下是反义函数，相当于采用 `std::greater<>` 比较，即返回权值严格小于某值的最大名次。查询一个数的排名可以用 `MyUprGrt(rt, x) + 1`。

``` cpp

int MyUprGrt(int k, int p) {

// 反义的函数，相当于采用 std::greater<> 比较

 if(!k) return 0;

 else if(w[k] == p && wn[k]) return sd[lc[k]];

 else if(w[k] < p) return sd[lc[k]] + wn[k] + MyUprGrt(rc[k], p);

### at

给定名次，返回该名次上的权值。将名次与节点左子树大小及本节点重复次数比较，同样小于向左，大于向右。

给定名次，返回该名次上的权值。到达空结点说明无此名次，找到对应结点则返回其权值。

``` cpp

int MyAt(int k, int p) {

### 前驱后继

以上两种功的组合。

以上两种功能结合即可。

``` cpp

inline int  MyPre(int k, int p) { return MyAt(k, MyUprGrt(k, p)); }