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## 概述

给定 $n$ 个二维平面上的点，求一组欧几里得距离最近的点对。

下面我们介绍一种时间复杂度为 $O(n\log n)$ 的分治算法来解决这个问题。该算法在 1975 年由 [Franco P. Preparata](https://en.wikipedia.org/wiki/Franco_P._Preparata) 提出，Preparata 和 [Michael Ian Shamos](https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Ian_Shamos) 证明了该算法在决策树模型下是最优的。

## 算法

与常规的分治算法一样，我们将这个有 $n$ 个点的集合拆分成两个大小相同的集合 $S_1, S_2$，并不断递归下去。但是我们遇到了一个难题：如何合并？即如何求出一个点在 $S_1$ 中，另一个点在 $S_2$ 中的最近点对？这里我们先假设合并操作的时间复杂度为 $O(n)$，可知算法总复杂度为 $T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + O(n) = O(n\log n)$。

我们先将所有点按照 $x_i$ 为第一关键字、$y_i$ 为第二关键字排序，并以点 $p_m (m = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor)$ 为分界点，拆分点集为 $A_1,A_2$：

$$A_1 = \{p_i \ \big | \ i = 0 \ldots m \}\\

A_2 = \{p_i \ \big | \ i = m + 1 \ldots n-1 \}$$

并递归下去，求出两点集各自内部的最近点对，设距离为 $h_1,h_2$，取较小值设为 $h$。

现在该合并了！我们试图找到这样的一组点对，其中一个属于 $A_1$，另一个属于 $A_2$，且二者距离小于 $h$。因此我们将所有横坐标与 $x_m$ 的差小于 $h$ 的点放入集合 $B$：

$$B = \{ p_i \ \big | \ \lvert x_i - x_m \rvert < h \}$$

对于 $B$ 中的每个点 $p_i$，我们当前目标是找到一个同样在 $B$ 中、且到其距离小于 $h$ 的点。为了避免两个点之间互相考虑，我们只考虑那些纵坐标小于 $y_i$ 的点。显然对于一个合法的点 $p_j$，$y_i - y_j$ 必须小于 $h$。于是我们获得了一个集合 $C(p_i)$：

$$C(p_i) = \{ p_j\ \big |\ p_j \in B,\ y_i - h < y_j \le y_i \}$$

如果我们将 $B$ 中的点按照 $y_i$ 排序，$C(p_i)$ 将很容易得到，即紧邻 $p_i$ 的连续几个点。

由此我们得到了合并的步骤：

1.    构建集合 $B$。

2.    将 $B$ 中的点按照 $y_i$ 排序。通常做法是 $O(n\log n)$，但是我们可以改变策略优化到 $O(n)$（下文讲解）。

3.    对于每个 $p_i \in B$ 考虑 $p_j \in C(p_i)$，对于每对 $(p_i,p_j)$ 计算距离并更新答案（当前所处集合的最近点对）。

注意到我们上文提到了两次排序，因为点坐标全程不变，第一次排序可以只在分治开始前进行一次。我们令每次递归返回当前点集按 $y_i$ 排序的结果，对于第二次排序，上层直接使用下层的两个分别排序过的点集归并即可。

似乎这个算法仍然不优，$|C(p_i)|$ 将处于 $O(n)$ 数量级，导致总复杂度不对。其实不然，其最大大小为 $7$，我们给出它的证明：

## 复杂度证明

我们已经了解到，$C(p_i)$ 中的所有点的纵坐标都在 $(y_i-h,y_i]$ 范围内；且 $C(p_i)$ 中的所有点，和 $p_i$ 本身，横坐标都在 $(x_m-h,x_m+h)$ 范围内。这构成了一个 $2h \times h$ 的矩形。

我们再将这个矩形拆分为两个 $h \times h$ 的正方形，不考虑 $p_i$，其中一个正方形中的点为 $C(p_i) \cap A_1$，另一个为 $C(p_i) \cap A_2$，且两个正方形内的任意两点间距离大于 $h$。（因为它们来自同一下层递归）

我们将一个 $h \times h$ 的正方形拆分为四个 $\frac{h}{2} \times \frac{h}{2}$ 的小正方形。可以发现，每个小正方形中最多有 $1$ 个点：因为该小正方形中任意两点最大距离是对角线的长度，即$\frac{h}{\sqrt 2}$，该数小于 $h$。

由此，每个正方形中最多有 $4$ 个点，矩形中最多有 $8$ 个点，去掉 $p_i$ 本身，$\max(C(p_i))=7$。

## 实现

我们使用一个结构体来存储点，并定义用于排序的函数对象：

```cpp

struct pt {

    int x, y, id;

};

struct cmp_x {

    bool operator()(const pt & a, const pt & b) const {

        return a.x < b.x || (a.x == b.x && a.y < b.y);

    }

};

struct cmp_y {

    bool operator()(const pt & a, const pt & b) const {

        return a.y < b.y;

    }

};

int n;

vector<pt> a;

```

为了方便实现递归，我们引入 `upd_ans()` 辅助函数来计算两点间距离并尝试更新答案：

```cpp

double mindist;

int ansa, ansb;

inline void upd_ans (const pt & a, const pt & b) {

	double dist = sqrt ((a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y) + .0);

	if (dist < mindist)

		mindist = dist,  ansa = a.id,  ansb = b.id;

}

```

下面是递归本身：假设在调用前 `a[]` 已按 $x_i$ 排序。如果 $r-l$ 过小，使用暴力算法计算 $h$，终止递归。

我们使用 `std::merge()` 来执行归并排序，并创建辅助缓冲区 `t[]`，$B$ 存储在其中。

```cpp

void rec (int l, int r) {

	if (r - l <= 3) {

		for (int i=l; i<=r; ++i)

			for (int j=i+1; j<=r; ++j)

				upd_ans (a[i], a[j]);

		sort (a+l, a+r+1, &cmp_y);

		return;

	}

	int m = (l + r) >> 1;

	int midx = a[m].x;

	rec (l, m),  rec (m+1, r);

	static pt t[MAXN];

	merge (a+l, a+m+1, a+m+1, a+r+1, t, &cmp_y);

	copy (t, t+r-l+1, a+l);

	int tsz = 0;

	for (int i=l; i<=r; ++i)

		if (abs (a[i].x - midx) < mindist) {

			for (int j=tsz-1; j>=0 && a[i].y - t[j].y < mindist; --j)

				upd_ans (a[i], t[j]);

			t[tsz++] = a[i];

		}

}

```

在主函数中，这样开始递归即可：

```cpp

sort (a, a+n, &cmp_x);

mindist = 1E20;

rec (0, n-1);

```

## 推广：平面最小周长三角形

上述算法有趣地推广到这个问题：在给定的一组点中，选择三个点，使得它们两两的距离之和最小。

算法大体保持不变，每次尝试找到一个比当前答案周长 $d$ 更小的三角形，将所有横坐标与 $x_m$ 的差小于 $\frac{d}{2}$ 的点放入集合 $B$，尝试更新答案。（周长为 $d$ 的三角形的最长边小于 $\frac{d}{2}$）

## 习题

* [UVA 10245 "The Closest Pair Problem" [难度：低]](https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=onlinejudge&page=show_problem&problem=1186)

* [SPOJ #8725 CLOPPAIR "Closest Point Pair" [难度：低]](https://www.spoj.com/problems/CLOPPAIR/)

* [CODEFORCES Team Olympiad Saratov - 2011 "Minimum amount" [难度：中]](http://codeforces.com/contest/120/problem/J)

* [Google CodeJam 2009 Final " Min Perimeter "[难度：中]](https://code.google.com/codejam/contest/311101/dashboard#s=a&a=1)

* [SPOJ #7029 CLOSEST "Closest Triple" [难度：中]](https://www.spoj.com/problems/CLOSEST/)

***

**本页面主要译自博文[Нахождение пары ближайших точек](http://e-maxx.ru/algo/nearest_points)与其英文翻译版[Finding the nearest pair of points](https://github.com/e-maxx-eng/e-maxx-eng/blob/master/src/geometry/nearest_points.md)。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。**

    - 扫描线: geometry/scanning.md

    - 旋转卡壳: geometry/rotating-calipers.md

    - 半平面交: geometry/half-plane-intersection.md

    - 平面最近点对: geometry/nearest-points.md

    - 计算几何杂项: geometry/magic.md

  - 杂项:

    - 杂项简介: misc/index.md