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## 结点的度数

设图 $G= \langle V,E\rangle$ 为一个有向图， $v\in V$ ，关联于结点 $v$ 的 **边** 的条数，称为点 $v$ 的度数，记作 $deg(v)$ 。

设图 $G= \langle V,E\rangle$ 为一个有向图， $v\in V$ ，关联于结点 $v$ 的 **边** 的条数，称为点 $v$ 的度数，记作 $\deg(v)$ 。

注意：一个自环为它的端点增加 2 度。

当图 $G= \langle V,E\rangle$ 为一个有向图， $v\in V$ ，称以 $v$ 作为始点的边数之和称为结点 $v$ 的出度，记为 $deg^{+} (v)$ 。将以 $v$ 作为终点的边数之和称为结点 $v$ 的入度，记为 $deg^{-} (v)$ 。称以 $v$ 作为端点的边数之和为结点 $v$ 的度数或度，记为 $deg(v)$ 。

当图 $G= \langle V,E\rangle$ 为一个有向图， $v\in V$ ，称以 $v$ 作为始点的边数之和称为结点 $v$ 的出度，记为 $\deg^{+} (v)$ 。将以 $v$ 作为终点的边数之和称为结点 $v$ 的入度，记为 $\deg^{-} (v)$ 。称以 $v$ 作为端点的边数之和为结点 $v$ 的度数或度，记为 $\deg(v)$ 。

显然， $\forall v\in V,deg(v)=deg^{+} (v)+deg^{-} (v)$ 。

显然， $\forall v\in V,\deg(v)=deg^{+} (v)+\deg^{-} (v)$ 。

### 定理 1

 $\sum_{v\in V} deg(v)=2\times |E|$ 

 $\sum_{v\in V} \deg(v)=2\times |E|$ 

推论：在任意图中，度数为奇数的点必然有偶数个。

### 定理 2

 $\sum_{v\in V} deg^{+} (v)=\sum_{v\in V} deg^{-} (v)=|E|$ 

 $\sum_{v\in V} \deg^{+} (v)=\sum_{v\in V} \deg^{-} (v)=|E|$ 

即所有点入度之和等于出度之和。

树：边数比结点数少一的连通图。更多内容，详见[树相关基础](/graph/tree-basic/)。

森林：由 $m$ 棵（ $m\ge 0$ ）互不相交的树组成的图。

森林：由 $m​$ 棵（ $m\ge 0​$ ）互不相交的树组成的图。

基环树：边数和点数相等的连通图。

仙人掌：每个结点至多在一个简单环上的图。

在无向图中，关联一对顶点的边多于 1 条，则称这些边为重边（平行边），重边的条数称为重数。

在无向图中，关联一对顶点的边多于 $1$ 条，则称这些边为重边（平行边），重边的条数称为重数。

简单图：不含重边和自环的图。

多重图：含重边的图。

完全图：每对不同的顶点之间都恰连有一条边相连的简单无向图。容易证明， $n$ 个顶点的完全图有 $\frac{n\times (n-1)}{2}$ 条边。

完全图：每对不同的顶点之间都恰连有一条边相连的简单无向图。容易证明， $n$ 个顶点的完全图有 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 条边。

竞赛图：通过在完全图中为每条边分配方向而获得的有向图。