Update fermat.md (#1308)

2.   $a$ 为素数的情况

    令 $m=p^rm'$ ，则 $\gcd(p,m')=1$ ，所以 $p^{\phi(m')}\equiv 1\pmod{m'}$ 

    令 $m=p^rm'$ ，则 $\gcd(p,m')=1$ ，所以 $p^{\varphi(m')}\equiv 1\pmod{m'}$ 

    又由于 $\gcd(p^r,m')=1$ ，所以 $\phi(m') \mid \varphi(m)$ ，所以 $p^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod {m'}$ ，即 $p^\phi(m)=km'+1$ ，两边同时乘以 $p^r$ ，得 $p^{r+\phi(m)}=km+p^r$ （因为 $m=p^rm'$ ）

    又由于 $\gcd(p^r,m')=1$ ，所以 $\varphi(m') \mid \varphi(m)$ ，所以 $p^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod {m'}$ ，即 $p^\varphi(m)=km'+1$ ，两边同时乘以 $p^r$ ，得 $p^{r+\varphi(m)}=km+p^r$ （因为 $m=p^rm'$ ）

    所以 $p^r\equiv p^{r+s}\pmod m$ ，这里 $s=\phi(m)$ 

    所以 $p^r\equiv p^{r+s}\pmod m$ ，这里 $s=\varphi(m)$ 

3.  推论： $p^b\equiv p^{r+(b-r) \mod \phi(m)}\pmod m$ 

3.  推论： $p^b\equiv p^{r+(b-r) \mod \varphi(m)}\pmod m$ 

4.  又由于 $m=p^rm'$ ，所以 $\phi(m) \ge  \phi(p^r)=p^{r-1}(p-1) \ge r$ 

4.  又由于 $m=p^rm'$ ，所以 $\varphi(m) \ge  \varphi(p^r)=p^{r-1}(p-1) \ge r$ 

    所以 $p^r\equiv p^{r+\phi(m)}\equiv p^{r \mod \phi(m)+\phi(m)}\pmod m$ 

    所以 $p^r\equiv p^{r+\varphi(m)}\equiv p^{r \mod \varphi(m)+\varphi(m)}\pmod m$ 

    所以 $p^b\equiv p^{r+(b-r) \mod \phi(m)}\equiv p^{r \mod \phi(m)+\phi(m)+(b-r) \mod \phi(m)}\equiv p^{\phi(m)+b \mod \phi(m)}\pmod m$ 

    所以 $p^b\equiv p^{r+(b-r) \mod \varphi(m)}\equiv p^{r \mod \varphi(m)+\varphi(m)+(b-r) \mod \varphi(m)}\equiv p^{\varphi(m)+b \mod \varphi(m)}\pmod m$ 

    即 $p^b\equiv p^{b \mod \phi(m)+\phi(m)}\pmod m$ 

    即 $p^b\equiv p^{b \mod \varphi(m)+\varphi(m)}\pmod m$ 

5.   $a$ 为素数的幂的情况

    是否依然有 $a^{r'}\equiv a^{r'+s'}\pmod m$ ？（其中 $s'=\phi(m),a=p^k$ )

    是否依然有 $a^{r'}\equiv a^{r'+s'}\pmod m$ ？（其中 $s'=\varphi(m),a=p^k$ )

    答案是肯定的，由 2 知 $p^s\equiv 1 \pmod m'$ ，所以 $p^{s \times \frac{k}{\gcd(s,k)}} \equiv 1\pmod {m'}$ ，所以当 $s'=\frac{s}{\gcd(s,k)}$ 时才能有 $p^{s'k}\equiv 1\pmod {m'}$ ，此时 $s' \mid s \mid \phi(m)$ ，且 $r'= \lceil \frac{r}{k}\rceil \le r \le \phi(m)$ ，由 $r',s'$ 与 $\phi(m)$ 的关系，依然可以得到 $a^b\equiv a^{b \mod \phi(m)+\phi(m)}\pmod m$ 

    答案是肯定的，由 2 知 $p^s\equiv 1 \pmod m'$ ，所以 $p^{s \times \frac{k}{\gcd(s,k)}} \equiv 1\pmod {m'}$ ，所以当 $s'=\frac{s}{\gcd(s,k)}$ 时才能有 $p^{s'k}\equiv 1\pmod {m'}$ ，此时 $s' \mid s \mid \varphi(m)$ ，且 $r'= \lceil \frac{r}{k}\rceil \le r \le \varphi(m)$ ，由 $r',s'$ 与 $\varphi(m)$ 的关系，依然可以得到 $a^b\equiv a^{b \mod \varphi(m)+\varphi(m)}\pmod m$ 

6.   $a$ 为合数的情况

    设 $a=a_1a_2,a_i=p_i^{k_i}$ ， $a_i$ 的循环长度为 $s_i$ ；

    则 $s \mid lcm(s_1,s_2)$ ，由于 $s_1 \mid \phi(m),s_2 \mid \phi(m)$ ，那么 $lcm(s_1,s_2) \mid \phi(m)$ ，所以 $s \mid \phi(m)$ ， $r=\max(\lceil \frac{r_i}{k_i} \rceil) \le \max(r_i) \le \phi(m)$ ；

    则 $s \mid lcm(s_1,s_2)$ ，由于 $s_1 \mid \varphi(m),s_2 \mid \varphi(m)$ ，那么 $lcm(s_1,s_2) \mid \varphi(m)$ ，所以 $s \mid \varphi(m)$ ， $r=\max(\lceil \frac{r_i}{k_i} \rceil) \le \max(r_i) \le \varphi(m)$ ；

    由 $r,s$ 与 $\phi(m)$ 的关系，依然可以得到 $a^b\equiv a^{b \mod \phi(m)+\phi(m)}\pmod m$ ；

    由 $r,s$ 与 $\varphi(m)$ 的关系，依然可以得到 $a^b\equiv a^{b \mod \varphi(m)+\varphi(m)}\pmod m$ ；

    证毕。