Loading docs/dp/optimization.md +34 −2 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -110,7 +110,7 @@ for(int i=n;i>=1;i--) 因为 $\sum_{i=1}^{n-1}(idx_{i+1,i+1}-idx_{i,i})=idx_{n,n}-idx_{1,1}$ 很显然和 $n$ 同阶，那么它的 $n$ 倍就和 $n^2$ 同阶，时间复杂度是 $O(n^2)$。 ### 几道练习题 ### 一道练习题： [luogu P4767 [IOI2000]邮局](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4767) Loading Loading @@ -159,4 +159,36 @@ $f_{i,j}=\max\{f_{i-1,k}+b_i+|a_i-j|\}=\max\{f_{i-1,k}+|a_i-j|\}+b_i$ ## 斜率优化 待填充... ### 例题 [luogu P3195 [HNOI2008]玩具装箱TOY](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3195) 令 $f_i$ 表示前 $i$ 个物品，随意分组装在任意多个容器里所能得到的最小费用。 写出 ** 状态转移方程 ** ：$f_i=max\{f_j+(pre_i-pre_i+i-j-1-L)^2\}$ ，其中 $pre_i$ 表示前 $i$ 个数的前缀和。 换元试图简化状态转移方程式： 令 $s_i=pre_i+i,L'=L+1$，则 $f_i=f_j+(s_i-s_j-L')^2$，展开，移项得 $f_i=f_j+(s_i-s_j-L')^2$ $f_i+2\times s_i\times (s_j+L')=f_j+s_i^2+(s_j+L')^2$ 我们观察到，式子的右端的所有项都只和 $i$ 有关或只和 $j$ 有关，式子左端的第一项是我们要求的目标值，式子左端的其余项都同时和 $i$ 和 $j$ 有关。我们将这个式子看作一条直线的函数解析式，形如 $b+k\times x=y$ ，和上式一一对应。我们发现如果我们要最小化 $f_i$ ，也就是说要最小化这个直线的截距，而对于每个确定的 $i$，这个直线的斜率 $s_i$ 都是确定的。  如图，我们将这个斜率固定的直线从下往上平移，直到有一个点在这条直线上，然后将新的点加入点集，这样肯定能保证所有的直线的斜率都是单调递升的（因为如果新的直线斜率小于斜率最大的直线，那么其一定不成被选择成为新的决策），所以我们相当于维护了一个下凸包。（如果求的是 $\max$ 那么就要维护一个 ** 上凸包 ** 。这种东西要具体情况具体分析，如果直线的斜率不满足单调性，那就要维护整个凸包/二分等奇技淫巧。） 可以用单调队列维护下凸包。 ### 几道练习题： [luogu P4072 [SDOI2016] 征途](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4072) [luogu P2120 [ZJOI2007] 仓库建设](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2120) [luogu P3628 [APIO2010] 特别行动队](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3628) [bzoj 4709 [Jsoi2011] 柠檬](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4709) [CF311B Cats Transport](http://codeforces.com/problemset/problem/311/B) [luogu P4027 [NOI2007] 货币兑换](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4027) Loading
docs/dp/optimization.md +34 −2 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -110,7 +110,7 @@ for(int i=n;i>=1;i--) 因为 $\sum_{i=1}^{n-1}(idx_{i+1,i+1}-idx_{i,i})=idx_{n,n}-idx_{1,1}$ 很显然和 $n$ 同阶，那么它的 $n$ 倍就和 $n^2$ 同阶，时间复杂度是 $O(n^2)$。 ### 几道练习题 ### 一道练习题： [luogu P4767 [IOI2000]邮局](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4767) Loading Loading @@ -159,4 +159,36 @@ $f_{i,j}=\max\{f_{i-1,k}+b_i+|a_i-j|\}=\max\{f_{i-1,k}+|a_i-j|\}+b_i$ ## 斜率优化 待填充... ### 例题 [luogu P3195 [HNOI2008]玩具装箱TOY](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3195) 令 $f_i$ 表示前 $i$ 个物品，随意分组装在任意多个容器里所能得到的最小费用。 写出 ** 状态转移方程 ** ：$f_i=max\{f_j+(pre_i-pre_i+i-j-1-L)^2\}$ ，其中 $pre_i$ 表示前 $i$ 个数的前缀和。 换元试图简化状态转移方程式： 令 $s_i=pre_i+i,L'=L+1$，则 $f_i=f_j+(s_i-s_j-L')^2$，展开，移项得 $f_i=f_j+(s_i-s_j-L')^2$ $f_i+2\times s_i\times (s_j+L')=f_j+s_i^2+(s_j+L')^2$ 我们观察到，式子的右端的所有项都只和 $i$ 有关或只和 $j$ 有关，式子左端的第一项是我们要求的目标值，式子左端的其余项都同时和 $i$ 和 $j$ 有关。我们将这个式子看作一条直线的函数解析式，形如 $b+k\times x=y$ ，和上式一一对应。我们发现如果我们要最小化 $f_i$ ，也就是说要最小化这个直线的截距，而对于每个确定的 $i$，这个直线的斜率 $s_i$ 都是确定的。  如图，我们将这个斜率固定的直线从下往上平移，直到有一个点在这条直线上，然后将新的点加入点集，这样肯定能保证所有的直线的斜率都是单调递升的（因为如果新的直线斜率小于斜率最大的直线，那么其一定不成被选择成为新的决策），所以我们相当于维护了一个下凸包。（如果求的是 $\max$ 那么就要维护一个 ** 上凸包 ** 。这种东西要具体情况具体分析，如果直线的斜率不满足单调性，那就要维护整个凸包/二分等奇技淫巧。） 可以用单调队列维护下凸包。 ### 几道练习题： [luogu P4072 [SDOI2016] 征途](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4072) [luogu P2120 [ZJOI2007] 仓库建设](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2120) [luogu P3628 [APIO2010] 特别行动队](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3628) [bzoj 4709 [Jsoi2011] 柠檬](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4709) [CF311B Cats Transport](http://codeforces.com/problemset/problem/311/B) [luogu P4027 [NOI2007] 货币兑换](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4027)
