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对于定理 3，如果我们要将 $a_i$ 改为 $a_i'$ ，则根据异或运算律可以得出 $a_i=a_i'$ ，因而这不是个合法的移动。

## 有向图游戏与 \operatorname{SG} 函数

## 有向图游戏与 \\operatorname{SG} 函数

有向图游戏是一个经典的博弈游戏——实际上，大部分的公平组合游戏都可以转换为有向图游戏。

而对于由 $n$ 个有向图游戏组成的组合游戏，设它们的起点分别为 $s_1, s_2, \ldots, s_n$ ，则有定理：**当且仅当 $\operatorname{SG}(s_1) \oplus \operatorname{SG}(s_2) \oplus \ldots \oplus \operatorname{SG}(s_n) \neq 0$ 时，这个游戏是先手必胜的。**

这一定理被称作 \operatorname{SG} 定理。

这一定理被称作 \\operatorname{SG} 定理。

## 将 Nim 游戏转换为有向图游戏

那么，由 $n$ 个堆组成的 Nim 游戏，就可以视为 $n$ 个有向图游戏了。

根据上面的推论，可以得出 $\operatorname{SG}(x)=x$ 。再根据 \operatorname{SG} 定理，就可以得出 Nim 和的结论了。

根据上面的推论，可以得出 $\operatorname{SG}(x)=x$ 。再根据 \\operatorname{SG} 定理，就可以得出 Nim 和的结论了。

## 参考文献