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B = \{ p_i \ \big | \ \lvert x_i - x_m \rvert < h \}

$$

结合图像，直线 $m$ 将点分成了两部分。 $m$ 左侧为 $A_1$ 点集，右侧为为 $A_2$ 点集。

再根据 $B = \{ p_i \ \big | \ \lvert x_i - x_m \rvert < h \}$ 规则，得到绿色点组成的 $B$ 点集。![nearest-points1](./images/nearest-points1.png)

对于 $B$ 中的每个点 $p_i$ ，我们当前目标是找到一个同样在 $B$ 中、且到其距离小于 $h$ 的点。为了避免两个点之间互相考虑，我们只考虑那些纵坐标小于 $y_i$ 的点。显然对于一个合法的点 $p_j$ ， $y_i - y_j$ 必须小于 $h$ 。于是我们获得了一个集合 $C(p_i)$ ：

$$

C(p_i) = \{ p_j\ \big |\ p_j \in B,\ y_i - h < y_j \le y_i \}

$$

在点集 $B$ 中选一点 $p_i$ ，根据 $C(p_i) = \{ p_j\ \big |\ p_j \in B,\ y_i - h < y_j \le y_i \}$ 的规则，得到了由红色方框内的黄色点组成的 $C$ 点集。

![nearest-points2](./images/nearest-points2.png)

如果我们将 $B$ 中的点按照 $y_i$ 排序， $C(p_i)$ 将很容易得到，即紧邻 $p_i$ 的连续几个点。

由此我们得到了合并的步骤：

我们将一个 $h \times h$ 的正方形拆分为四个 $\frac{h}{2} \times \frac{h}{2}$ 的小正方形。可以发现，每个小正方形中最多有 $1$ 个点：因为该小正方形中任意两点最大距离是对角线的长度，即 $\frac{h}{\sqrt 2}$ ，该数小于 $h$ 。

![nearest-points3](./images/nearest-points3.png)

由此，每个正方形中最多有 $4$ 个点，矩形中最多有 $8$ 个点，去掉 $p_i$ 本身， $\max(C(p_i))=7$ 。

## 实现