Loading docs/graph/euler.md +72 −60 Original line number Diff line number Diff line 本页面将简要介绍欧拉图的概念、实现和应用。 ## 定义 通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的通路称为欧拉通路。 Loading Loading @@ -36,24 +38,17 @@ ## 求欧拉回路或欧拉路 例题： [Luogu P2731 骑马修栅栏](https://www.luogu.com.cn/problem/P2731) ???+note "题面" 给定一张有 500 个顶点的无向图，求这张图的一条欧拉路或欧拉回路。如果有多组解，输出最小的那一组。 在本题中，欧拉路或欧拉回路不需要经过所有顶点。 边的数量 m 满足 $1\leq m \leq 1024$ 。 ### Fleury 算法 也称避桥法，一个偏暴力的算法。算法流程为每次选择下一条边的时候优先选择不是桥的边。 也称避桥法，是一个偏暴力的算法。 算法流程为每次选择下一条边的时候优先选择不是桥的边。 一个广泛使用但是错误的实现方式是先 Tarjan 预处理桥边，然后再 DFS 避免走桥。但是由于走图过程中边会被删去，一些非桥边会变为桥边导致错误。最简单的实现方法是每次删除一条边之后暴力跑一遍 Tarjan 找桥，时间复杂度是 $\Theta(m(n+m))=\Theta(m^2)$ 。复杂的实现方法要用到动态图等，实用价值不高。 在解决本题的时候只需要再贪心就好，不过由于复杂度不对，还是看更优的算法吧。 ### Hierholzer 算法 ### 逐步插入回路法（Hierholzer 算法） 也称逐步插入回路法。 算法流程为从一条回路开始，每次任取一条目前回路中的点，将其替换为一条简单回路，以此寻找到一条欧拉回路。如果从路开始的话，就可以寻找到一条欧拉路。 Loading @@ -77,19 +72,64 @@ $$ \end{array} $$ 这个算法的时间复杂度约为 $O(nm+m^2)$ 。实际上还有复杂度更低的实现方法，就是将找回路的 Dfs 和 Hierholzer 的递归合并，边找回路边 Hierholzer，保存答案可以使用 `stack<int>` ，因为如果找的不是回路的话必须将那一部分放在最后。 这个算法的时间复杂度约为 $O(nm+m^2)$ 。实际上还有复杂度更低的实现方法，就是将找回路的 DFS 和 Hierholzer 算法的递归合并，边找回路边使用 Hierholzer 算法。 如果需要输出字典序最小的欧拉路或欧拉回路的话，因为需要将边排序，时间复杂度是 $\Theta(n+m\log m)$ （计数排序或者基数排序可以优化至 $\Theta(n+m)$ ）。如果不需要排序，时间复杂度是 $\Theta(n+m)$ 。 对于这道例题的一个代码实现如下。注意，不能使用邻接矩阵存图，否则时间复杂度会退化为 $\Theta(nm)$ 。由于需要将边排序，建议使用前向星或者 vector 存图。示例代码使用 vector。 ### 应用 有向欧拉图可用于计算机译码。 设有 $m$ 个字母，希望构造一个有 $m^n$ 个扇形的圆盘，每个圆盘上放一个字母，使得圆盘上每连续 $n$ 位对应长为 $n$ 的符号串。转动一周（ $m^n$ 次）后得到由 $m$ 个字母产生的长度为 $n$ 的 $m^n$ 个各不相同的符号串。  构造如下有向欧拉图： 设 $S = \{a_1, a_2, \cdots, a_m\}$ ，构造 $D=<V, E>$ ，如下： ???+note "代码实现" $V = \{a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}} |a_i \in S, 1 \leq i \leq n - 1 \}$ $E = \{a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}|a_j \in S, 1 \leq j \leq n\}$ 规定 $D$ 中顶点与边的关联关系如下： 顶点 $a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}$ 引出 $m$ 条边： $a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}a_r, r=1, 2, \cdots, m$ 。 边 $a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}$ 引入顶点 $a_{j_2}a_{j_3}\cdots a_{j_{n}}$ 。  这样的 $D$ 是连通的，且每个顶点入度等于出度（均等于 $m$ ），所以 $D$ 是有向欧拉图。 任求 $D$ 中一条欧拉回路 $C$ ，取 $C$ 中各边的最后一个字母，按各边在 $C$ 中的顺序排成圆形放在圆盘上即可。 ## 例题 ???+note "[洛谷 P2731 骑马修栅栏](https://www.luogu.com.cn/problem/P2731)" 给定一张有 500 个顶点的无向图，求这张图的一条欧拉路或欧拉回路。如果有多组解，输出最小的那一组。 在本题中，欧拉路或欧拉回路不需要经过所有顶点。 边的数量 m 满足 $1\leq m \leq 1024$ 。 ??? note "解题思路" 用 Fleury 算法解决本题的时候只需要再贪心就好，不过由于复杂度不对，还是换 Hierholzer 算法吧。 保存答案可以使用 `stack<int>` ，因为如果找的不是回路的话必须将那一部分放在最后。 注意，不能使用邻接矩阵存图，否则时间复杂度会退化为 $\Theta(nm)$ 。由于需要将边排序，建议使用前向星或者 vector 存图。示例代码使用 vector。 ??? note "示例代码" ```cpp #include <algorithm> #include <cstdio> #include <stack> #include <vector> using namespace std; ``` struct edge { int to; Loading Loading @@ -169,36 +209,8 @@ $$ } ``` ### 应用 有向欧拉图可用于计算机译码。 设有 $m$ 个字母，希望构造一个有 $m^n$ 个扇形的圆盘，每个圆盘上放一个字母，使得圆盘上每连续 $n$ 位对应长为 $n$ 的符号串。转动一周（ $m^n$ 次）后得到由 $m$ 个字母产生的长度为 $n$ 的 $m^n$ 个各不相同的符号串。  构造如下有向欧拉图： 设 $S = \{a_1, a_2, \cdots, a_m\}$ ，构造 $D=<V, E>$ ，如下： $V = \{a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}} |a_i \in S, 1 \leq i \leq n - 1 \}$ $E = \{a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}|a_j \in S, 1 \leq j \leq n\}$ 规定 $D$ 中顶点与边的关联关系如下： 顶点 $a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}$ 引出 $m$ 条边： $a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}a_r, r=1, 2, \cdots, m$ 。 边 $a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}$ 引入顶点 $a_{j_2}a_{j_3}\cdots a_{j_{n}}$ 。  这样的 $D$ 是连通的，且每个顶点入度等于出度（均等于 $m$ ），所以 $D$ 是有向欧拉图。 任求 $D$ 中一条欧拉回路 $C$ ，取 $C$ 中各边的最后一个字母，按各边在 $C$ 中的顺序排成圆形放在圆盘上即可。 ## 练习题 ## 习题 [「洛谷 1341」无序字母对](https://www.luogu.com.cn/problem/P1341) - [洛谷 P1341 无序字母对](https://www.luogu.com.cn/problem/P1341) [「洛谷 2731」骑马修栅栏](https://www.luogu.com.cn/problem/P2731) - [洛谷 P2731 骑马修栅栏](https://www.luogu.com.cn/problem/P2731) docs/images/euler1.png→docs/graph/images/euler1.png (5.84 KiB) File moved. View file docs/images/euler2.png→docs/graph/images/euler2.png (7.42 KiB) File moved. View file Loading
docs/graph/euler.md +72 −60 Original line number Diff line number Diff line 本页面将简要介绍欧拉图的概念、实现和应用。 ## 定义 通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的通路称为欧拉通路。 Loading Loading @@ -36,24 +38,17 @@ ## 求欧拉回路或欧拉路 例题： [Luogu P2731 骑马修栅栏](https://www.luogu.com.cn/problem/P2731) ???+note "题面" 给定一张有 500 个顶点的无向图，求这张图的一条欧拉路或欧拉回路。如果有多组解，输出最小的那一组。 在本题中，欧拉路或欧拉回路不需要经过所有顶点。 边的数量 m 满足 $1\leq m \leq 1024$ 。 ### Fleury 算法 也称避桥法，一个偏暴力的算法。算法流程为每次选择下一条边的时候优先选择不是桥的边。 也称避桥法，是一个偏暴力的算法。 算法流程为每次选择下一条边的时候优先选择不是桥的边。 一个广泛使用但是错误的实现方式是先 Tarjan 预处理桥边，然后再 DFS 避免走桥。但是由于走图过程中边会被删去，一些非桥边会变为桥边导致错误。最简单的实现方法是每次删除一条边之后暴力跑一遍 Tarjan 找桥，时间复杂度是 $\Theta(m(n+m))=\Theta(m^2)$ 。复杂的实现方法要用到动态图等，实用价值不高。 在解决本题的时候只需要再贪心就好，不过由于复杂度不对，还是看更优的算法吧。 ### Hierholzer 算法 ### 逐步插入回路法（Hierholzer 算法） 也称逐步插入回路法。 算法流程为从一条回路开始，每次任取一条目前回路中的点，将其替换为一条简单回路，以此寻找到一条欧拉回路。如果从路开始的话，就可以寻找到一条欧拉路。 Loading @@ -77,19 +72,64 @@ $$ \end{array} $$ 这个算法的时间复杂度约为 $O(nm+m^2)$ 。实际上还有复杂度更低的实现方法，就是将找回路的 Dfs 和 Hierholzer 的递归合并，边找回路边 Hierholzer，保存答案可以使用 `stack<int>` ，因为如果找的不是回路的话必须将那一部分放在最后。 这个算法的时间复杂度约为 $O(nm+m^2)$ 。实际上还有复杂度更低的实现方法，就是将找回路的 DFS 和 Hierholzer 算法的递归合并，边找回路边使用 Hierholzer 算法。 如果需要输出字典序最小的欧拉路或欧拉回路的话，因为需要将边排序，时间复杂度是 $\Theta(n+m\log m)$ （计数排序或者基数排序可以优化至 $\Theta(n+m)$ ）。如果不需要排序，时间复杂度是 $\Theta(n+m)$ 。 对于这道例题的一个代码实现如下。注意，不能使用邻接矩阵存图，否则时间复杂度会退化为 $\Theta(nm)$ 。由于需要将边排序，建议使用前向星或者 vector 存图。示例代码使用 vector。 ### 应用 有向欧拉图可用于计算机译码。 设有 $m$ 个字母，希望构造一个有 $m^n$ 个扇形的圆盘，每个圆盘上放一个字母，使得圆盘上每连续 $n$ 位对应长为 $n$ 的符号串。转动一周（ $m^n$ 次）后得到由 $m$ 个字母产生的长度为 $n$ 的 $m^n$ 个各不相同的符号串。  构造如下有向欧拉图： 设 $S = \{a_1, a_2, \cdots, a_m\}$ ，构造 $D=<V, E>$ ，如下： ???+note "代码实现" $V = \{a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}} |a_i \in S, 1 \leq i \leq n - 1 \}$ $E = \{a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}|a_j \in S, 1 \leq j \leq n\}$ 规定 $D$ 中顶点与边的关联关系如下： 顶点 $a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}$ 引出 $m$ 条边： $a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}a_r, r=1, 2, \cdots, m$ 。 边 $a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}$ 引入顶点 $a_{j_2}a_{j_3}\cdots a_{j_{n}}$ 。  这样的 $D$ 是连通的，且每个顶点入度等于出度（均等于 $m$ ），所以 $D$ 是有向欧拉图。 任求 $D$ 中一条欧拉回路 $C$ ，取 $C$ 中各边的最后一个字母，按各边在 $C$ 中的顺序排成圆形放在圆盘上即可。 ## 例题 ???+note "[洛谷 P2731 骑马修栅栏](https://www.luogu.com.cn/problem/P2731)" 给定一张有 500 个顶点的无向图，求这张图的一条欧拉路或欧拉回路。如果有多组解，输出最小的那一组。 在本题中，欧拉路或欧拉回路不需要经过所有顶点。 边的数量 m 满足 $1\leq m \leq 1024$ 。 ??? note "解题思路" 用 Fleury 算法解决本题的时候只需要再贪心就好，不过由于复杂度不对，还是换 Hierholzer 算法吧。 保存答案可以使用 `stack<int>` ，因为如果找的不是回路的话必须将那一部分放在最后。 注意，不能使用邻接矩阵存图，否则时间复杂度会退化为 $\Theta(nm)$ 。由于需要将边排序，建议使用前向星或者 vector 存图。示例代码使用 vector。 ??? note "示例代码" ```cpp #include <algorithm> #include <cstdio> #include <stack> #include <vector> using namespace std; ``` struct edge { int to; Loading Loading @@ -169,36 +209,8 @@ $$ } ``` ### 应用 有向欧拉图可用于计算机译码。 设有 $m$ 个字母，希望构造一个有 $m^n$ 个扇形的圆盘，每个圆盘上放一个字母，使得圆盘上每连续 $n$ 位对应长为 $n$ 的符号串。转动一周（ $m^n$ 次）后得到由 $m$ 个字母产生的长度为 $n$ 的 $m^n$ 个各不相同的符号串。  构造如下有向欧拉图： 设 $S = \{a_1, a_2, \cdots, a_m\}$ ，构造 $D=<V, E>$ ，如下： $V = \{a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}} |a_i \in S, 1 \leq i \leq n - 1 \}$ $E = \{a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}|a_j \in S, 1 \leq j \leq n\}$ 规定 $D$ 中顶点与边的关联关系如下： 顶点 $a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}$ 引出 $m$ 条边： $a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}a_r, r=1, 2, \cdots, m$ 。 边 $a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}$ 引入顶点 $a_{j_2}a_{j_3}\cdots a_{j_{n}}$ 。  这样的 $D$ 是连通的，且每个顶点入度等于出度（均等于 $m$ ），所以 $D$ 是有向欧拉图。 任求 $D$ 中一条欧拉回路 $C$ ，取 $C$ 中各边的最后一个字母，按各边在 $C$ 中的顺序排成圆形放在圆盘上即可。 ## 练习题 ## 习题 [「洛谷 1341」无序字母对](https://www.luogu.com.cn/problem/P1341) - [洛谷 P1341 无序字母对](https://www.luogu.com.cn/problem/P1341) [「洛谷 2731」骑马修栅栏](https://www.luogu.com.cn/problem/P2731) - [洛谷 P2731 骑马修栅栏](https://www.luogu.com.cn/problem/P2731)
