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源点、汇点：网络中的两个特殊节点。流量从源点产生，最后全部归于汇点。源点用 $S$ 表示，汇点用 $T$ 表示。

流量：对于网络中的每条边 $(x,y)$ ， $f(x,y)$ 被称为该边的流量。流量需要满足以下三条性质：

1\. 容量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量，即$f(x,y) \leq c(x,y)$。

2\. 斜对称性：每条边的流量与其相反边的流量之和为 0，即$f(x,y)=f(y,x)$。

3\. 流量守恒：从源点流出的流量等于汇点流入的流量。

1.容量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量，即 $f(x,y) \leq c(x,y)$ 。

2.斜对称性：每条边的流量与其相反边的流量之和为 0，即 $f(x,y)=f(y,x)$ 。

3.流量守恒：从源点流出的流量等于汇点流入的流量。

## 网络流的常见问题

求解最大流之前，我们先认识以下增广路的概念。

**增广路**指的是，从源点到汇点，只要有 $flow$ ($flow>0$) 流过去，这条路就是增广路。在一些最大流算法中，就是将这些路**增广**（意思就是走掉这条路，带走的流量肯定就是这条路的最小流量），如图:

**增广路**指的是，从源点到汇点，只要有 $flow$ ( $flow>0$ ) 流过去，这条路就是增广路。在一些最大流算法中，就是将这些路**增广**（意思就是走掉这条路，带走的流量肯定就是这条路的最小流量），如图：

![](./images/flow1.png)

我们从 $4$ 到 $3$，肯定可以先从流量为 $20$ 的这条边先走。那么这条边就被走掉了，不能再选，总的流量为 $20$（现在）。然后我们可以这样选择:

我们从 $4$ 到 $3$ ，肯定可以先从流量为 $20$ 的这条边先走。那么这条边就被走掉了，不能再选，总的流量为 $20$ （现在）。然后我们可以这样选择：

1.   $4\rightarrow2\rightarrow3$ 这条**增广路**的总流量为 $20$ 。到 $2$ 的时候还是 $30$ ，到 $3$ 了就只有 $20$ 了。

![](./images/flow2.png)

讲一下一些小细节。如果你是用邻接矩阵的话，反向边直接就是从 $table[x,y]$ 变成 $table[y,x]$。如果是常用的链式前向星，那么在加入边的时候就要先加入反向边。那么在用的时候呢，我们直接 $i\operatorname{xor}1$ 就可以了 ($i$ 为边的编号)。为什么呢? 相信大家都是知道 $\operatorname{xor}$ 的，那么我们在加入正向边后加入反向边，就是靠近的，所以可以使用 $\operatorname{xor}$。我们还要注意一开始的编号要设置为 $tot=1$，因为边要从编号 $2$ 开始，这样子 $\operatorname{xor}$ 对编号 $2,3$ 的边才有效果。

讲一下一些小细节。如果你是用邻接矩阵的话，反向边直接就是从 $table[x,y]$ 变成 $table[y,x]$ 。如果是常用的链式前向星，那么在加入边的时候就要先加入反向边。那么在用的时候呢，我们直接 $i\operatorname{xor}1$ 就可以了 ( $i$ 为边的编号）。为什么呢？相信大家都是知道 $\operatorname{xor}$ 的，那么我们在加入正向边后加入反向边，就是靠近的，所以可以使用 $\operatorname{xor}$ 。我们还要注意一开始的编号要设置为 $tot=1$ ，因为边要从编号 $2$ 开始，这样子 $\operatorname{xor}$ 对编号 $2,3$ 的边才有效果。

EK 算法的时间复杂度为 $O(n^2m)$ （其中 $n$ 为点数， $m$ 为边数）。效率还有很大提升空间。