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### Problem

给定两个长度分别为 $n,m$ 且仅由小写字母构成的字符串 $A,B$,求 $A,B$ 的最长公共子序列。$(n\le 1e6,m\le 1e3)$

给定两个长度分别为 $n,m$ 且仅由小写字母构成的字符串 $A,B$,求 $A,B$ 的最长公共子序列。$(n\le 10^6,m\le 10^3)$

### Naive solution

您一眼秒了它，这不是板子吗？

定义状态 $dp[i][j]$ 为 $A$ 的前 $i$ 位与 $B$ 的前 $j$ 位最长公共子串，则有

定义状态 $dp_{i,j}$ 为 $A$ 的前 $i$ 位与 $B$ 的前 $j$ 位最长公共子串，则有

$$

dp[i][j]=\begin{cases}\max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])\;\;(A[i]\;!=B[j])\\dp[i-1][j-1]+1\;\;(A[i]==B[j]\end{cases}

dp_{i,j}=

\begin{cases}

\max(dp_{i-1,j},dp_{i,j-1}) & ,A_i \neq B_j \\

dp_{i-1,j-1}+1 & ,A_i = B_j 

\end{cases}

$$

好简单，送分的吧。。。

恭喜，您退役了～

上述做法的时间复杂度 $O(nm)$，无法通过本题。

我们又仔细一想，发现 LCS 满足贪心的性质。

更改状态定义 $dp[i][j]$ 为与 $B$ 前 $i$ 位的最长公共子序列长度为 $j$ 的 $A$ 的最短前缀长度（即将朴素做法的答案与第一维状态对调）

更改状态定义 $dp_{i,j}$ 为与 $B$ 前 $i$ 位的最长公共子序列长度为 $j$ 的 $A$ 的最短前缀长度（即将朴素做法的答案与第一维状态对调）

可以通过预处理 $A$ 的每一位的下一个 $a,b,\cdots,z$ 的出现位置进行 $O(1)$ 的顺推转移。

复杂度 $O(m^2+26\times n)$，可以通过本题。

复杂度 $O(m^2+26n)$，可以通过本题。

## Example II

看到数据范围，我们考虑状压。

设 $dp[st][i]$ 表示从 $1$ 出发，经过点集 $st$ 后到达 $i$ 的方案是否存在。则有

设 $dp_{st,i}$ 表示从 $1$ 出发，经过点集 $st$ 后到达 $i$ 的方案是否存在。则有

$$

dp[st][i]=\sum dp[st-2^{i-1}][j]\&mp[j][i]\;\;(st\&2^{i-1} \;\&\&\; st\&2^{j-1})

dp_{st,i}=\sum dp_{st-2^{i-1},j}\&mp_{j,i}\;\;(st\&2^{i-1} \;\&\&\; st\&2^{j-1})

$$

其中 $mp$ 为图的邻接矩阵

时间复杂度 $O(n^2 \times 2^n)$，写得好看或许能过，但是并不优美。

### Higher solution

上面的状态设计中，每个 dp 值只代表一个 bool 值，这让我们觉得有些浪费。

上面的状态设计中，每个 $dp$ 值只代表一个 `bool` 值，这让我们觉得有些浪费。

我们可以考虑对于每个状态 $st$ 将 $dp[st][1 \cdots n]$ 压成一个 int ，发现我们可以将邻接矩阵同样压缩后进行 $O(1)$ 转移。

我们可以考虑对于每个状态 $st$ 将 $dp_{st,1 \cdots n}$ 压成一个 `int`，发现我们可以将邻接矩阵同样压缩后进行 $O(1)$ 转移。

时间复杂度 $O(n\times 2^n)$ ,可以稳过这道题。