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docs/math/pollar-rho.md

+118 −139

Original line number	Diff line number	Diff line
		@@ -20,8 +20,7 @@ $$
		P(A)=\frac{n}{n} \times \frac{n-1}{n} \times \dots \times \frac{n-k+1}{n}
		$$

		至少有两个人生日相同的概率为$P(\overline A)=1-P(A)$。根据题意可知$P(\overline A)\ge\frac{1}{2}$
		,那么就有$1 \times \frac{n-1}{n} \times \dots \times \frac{n-k+1}{n} \le \frac{1}{2}$
		至少有两个人生日相同的概率为 $P(\overline A)=1-P(A)$ 。根据题意可知 $P(\overline A)\ge\frac{1}{2}$ , 那么就有 $1 \times \frac{n-1}{n} \times \dots \times \frac{n-k+1}{n} \le \frac{1}{2}$

		由不等式 $1+x\le e^x$ 可得

		@@ -34,7 +33,7 @@ $$

		然而我们可以得到一个不等式方程， $e^{-\frac{k(k-1)}{2n}}\le 1-p$ ，其中 $p$ 是一个概率。那么当 $k=57$ ， $n=365$ 时，可以求得 $p\approx 0.99$ 。

		考虑一个问题，设置一个数据$n$，在$[1,1000]$里随机选取$i$个数（$i=1$时就是它自己），使它们之间有两个数的差值为$k$。当$i=1$时成功的概率是$\frac{1}{1000}$，当$i=2$时成功的概率是$\frac{1}{500}$（考虑绝对值,$k_2$可以取$k_1-k$或$k_1+k$），随着$i$的增大，这个概率也会增大最后趋向于1。
		考虑一个问题，设置一个数据 $n$ ，在 $[1,1000]$ 里随机选取 $i$ 个数（ $i=1$ 时就是它自己），使它们之间有两个数的差值为 $k$ 。当 $i=1$ 时成功的概率是 $\frac{1}{1000}$ ，当 $i=2$ 时成功的概率是 $\frac{1}{500}$ （考虑绝对值， $k_2$ 可以取 $k_1-k$ 或 $k_1+k$ ），随着 $i$ 的增大，这个概率也会增大最后趋向于 1。

		## 优化随机算法

		@@ -66,13 +65,11 @@ $$

		??? note "基于Floyd判环的Pollar-Rho算法"
		```c++
		ll PR(ll N)
		{
		ll PR(ll N) {
		ll c = rand() % (N - 1) + 1;
		ll t = f(0, c, N);
		ll r = f(f(0, c, N), c, N);
		while(t != r)
		{
		while (t != r) {
		ll d = gcd(abs(t - r), N);
		if (d > 1) return d;
		t = f(t, c, N);
		@@ -90,20 +87,16 @@ $$

		??? note "参考实现"
		```c++
		ll PR(ll x)
		{
		ll PR(ll x) {
		ll s = 0, t = 0;
		ll c = rand() % (x - 1) + 1;
		int step = 0, goal = 1;
		ll val = 1;
		for( goal=1; ;goal <<= 1, s = t, val = 1)
		{
		for(step = 1; step <= goal; ++step)
		{
		for (goal = 1;; goal <<= 1, s = t, val = 1) {
		for (step = 1; step <= goal; ++step) {
		t = f(t, c, x);
		val = val * abs(t - s) % x;
		if( (step % 127) == 0 )
		{
		if ((step % 127) == 0) {
		ll d = gcd(val, x);
		if (d > 1) return d;
		}
		@@ -114,8 +107,7 @@ $$
		}
		```


		例题:[P4718 【模板】Pollard-Rho算法](https://www.luogu.com.cn/problem/P4718)
		例题： [P4718【模板】Pollard-Rho 算法](https://www.luogu.com.cn/problem/P4718)

		对于一个数 n，用 [Miller Rabin 算法](/prime/#_4) 判断是否为素数，如果是就可以直接返回了，否则用 Pollard-Rho 算法找一个因子 p，将 n 除去因子 p。再递归分解 n 和 p，用 Miller Rabin 判断是否出现质因子，并用 max_factor 更新就可以求出最大质因子了。由于这个题目的数据过于庞大，用 Floyd 判环的方法是不够的，这里采用倍增优化的方法。

		@@ -131,19 +123,15 @@ $$
		int t;
		ll max_factor, n;

		inline ll gcd(ll a,ll b)
		{
		inline ll gcd(ll a, ll b) {
		if (b == 0) return a;
		return gcd(b, a % b);
		}

		inline ll qp(ll x,ll p,ll mod)
		{
		inline ll qp(ll x, ll p, ll mod) {
		ll ans = 1;
		while(p)
		{
		if(p & 1)
		ans = (lll)ans * x % mod;
		while (p) {
		if (p & 1) ans = (lll)ans * x % mod;
		x = (lll)x * x % mod;
		p >>= 1;
		}
		@@ -169,25 +157,18 @@ $$
		return 1;
		}

		inline ll f(ll x,ll c,ll n)
		{
		return ((lll)x * x + c) % n;
		}
		inline ll f(ll x, ll c, ll n) { return ((lll)x * x + c) % n; }

		inline ll PR(ll x)
		{
		inline ll PR(ll x) {
		ll s = 0, t = 0;
		ll c = (ll)rand() % (x - 1) + 1;
		int step = 0, goal = 1;
		ll val = 1;
		for( goal=1; ;goal <<= 1, s = t, val = 1)
		{
		for(step = 1; step <= goal; ++step)
		{
		for (goal = 1;; goal <<= 1, s = t, val = 1) {
		for (step = 1; step <= goal; ++step) {
		t = f(t, c, x);
		val = (lll)val * abs(t - s) % x;
		if( (step % 127) == 0 )
		{
		if ((step % 127) == 0) {
		ll d = gcd(val, x);
		if (d > 1) return d;
		}
		@@ -197,11 +178,9 @@ $$
		}
		}

		inline void fac(ll x)
		{
		inline void fac(ll x) {
		if (x <= max_factor \|\| x < 2) return;
		if(Miller_rabin(x))
		{
		if (Miller_rabin(x)) {
		max_factor = max(max_factor, x);
		return;
		}
		@@ -211,17 +190,17 @@ $$
		fac(x), fac(p);
		}

		int main()
		{
		int main() {
		scanf("%d", &t);
		while(t --)
		{
		while (t--) {
		srand((unsigned)time(NULL));
		max_factor = 0;
		scanf("%lld", &n);
		fac(n);
		if(max_factor == n) printf("Prime\n");
		else printf("%lld\n",max_factor);
		if (max_factor == n)
		printf("Prime\n");
		else
		printf("%lld\n", max_factor);
		}
		return 0;
		}