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当 $m$ 为素数时，由于 $\phi(m) = m - 1$，代入欧拉定理可立即得到费马小定理。

## 扩展欧拉定理

$a^b \equiv a^{b \mod \phi(p)} \pmod p$   $(\gcd(a,p)=1)$

$a^b \equiv a^{b \mod \phi(p)+\phi(p)} \pmod p$  $(\gcd(a,p)\ne 1,b \ge  \varphi(p))$

### 证明

  证明转载自[这](http://blog.csdn.net/synapse7/article/details/19610361)

  1. 在 $a$ 的 $0$ 次，$1$ 次，...，$b$ 次幂模 $m$ 的序列中，前 $r$ 个数（$a^0$ 到 $a^{r-1}$)互不相同，从第 $r$ 个数开始，每 $s$ 个数就循环一次。