add mod-shortest-path.md

当出现形如“给定$n$个整数，求这m个整数能拼凑出多少的其他整数($n$个整数可以重复取)”，以及“给定$n$个整数，求这$n$个整数不能拼凑出的最小（最大）的整数”的问题时可以使用同余最短路的方法。

同余最短路利用同余来构造一些状态，可以达到优化空间复杂度的目的。

类比[差分约束](./diff-constraints.md)方法，利用同余构造的这些状态可以看作单源最短路中的点。同余最短路的状态转移通常是这样的$f(i+y) = f(i) + y$，类似单源最短路中$f(v) = f(u) +edge(u,v)$。

## 例题 

???+note "[P3403 跳楼机](https://www.luogu.com.cn/problem/P3403)"

    题目大意: 给定$x，y，z，h$，对于$k \in [1,h]$ ，有多少个$k$能够满足$ax+by+cz=k$。

不妨假设$x < y < z $。

令$d_i$为只通过**操作2**和**操作3**能够达到的最低楼层$p$，并且满足$p\mod x=i$。

可以得到两个状态：

-  $i \xrightarrow{y} (i+y) \mod x $

-  $i \xrightarrow{z} (i+z) \mod x $

注意通常选取一组$a_i$中最小的那个数对它取模，也就是此处的$x$，这样可以尽量减小空间复杂度(剩余系最小)。

那么实际上相当于执行了最短路中的建边操作：

`add(i, (i+y) % x, y)`

`add(i, (i+z) % x, z)`

接下来只需要求出$d_0, d_1, d_2, \dots, d_{x-1}$，只需要跑一次最短路就可求出相应的$d_i$。答案即为：

$$

\sum_{i=0}^{x-1}\frac{h-d_i}{x} + 1

$$

加一是由于当前所在楼层也算一次。

???+note "参考实现"

    ```cpp

    #include <bits/stdc++.h>

    using namespace std;

    typedef long long ll;

    const int maxn = 100010;

    const int INF = 0x3f3f3f3f;

    ll h, x, y, z;

    ll head[maxn<<1], tot;

    ll dis[maxn], vis[maxn];

    queue<int> q;

    struct edge {

        ll to, next, w;

    } e[maxn<<1];

    void add(ll u, ll v, ll w) {

        e[++tot] = edge{v, head[u], w};

        head[u] = tot;

    }

    void spfa() {

        dis[1] =1;

        vis[1] = 1;

        q.push(1);

        while (!q.empty()) {

            int u = q.front();q.pop();

            vis[u] = 0;

            for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {

                int v = e[i].to, w = e[i].w;

                if (dis[v] > dis[u] + w) {

                    dis[v] = dis[u] + w;

                    if (!vis[v]) {

                        q.push(v);

                        vis[v] = 1;

                    }

                }

            }

        }

    }

    int main() {

        memset(dis, INF, sizeof(dis));

        scanf("%lld", &h);

        scanf("%lld %lld %lld", &x, &y, &z);

        if (x == 1 || y == 1 || z == 1) {printf("%d\n", h); return 0;}

        for (int i = 0; i < x; i ++) {

            add(i, (i + z) % x, z);

            add(i, (i + y) % x, y);

        }

        spfa();

        ll ans = 0;

        for (int i = 0; i < x; i ++) {

            if (h >= dis[i]) ans += ( h - dis[i] ) / x + 1;

        }

        printf("%lld\n", ans);

        return 0;

    }

    ```

## 习题

[洛谷 P3403 跳楼机](https://www.luogu.com.cn/problem/P3403)

[洛谷 P2662 牛场围栏](https://www.luogu.com.cn/problem/P2662)

[[国家集训队] 墨墨的等式](https://www.luogu.com.cn/problem/P2371)

[「NOIP2018」货币系统](https://loj.ac/problem/2951)

 No newline at end of file

    - 拆点: graph/node.md

    - 差分约束: graph/diff-constraints.md

    - k 短路: graph/kth-path.md

    - 同余最短路: graph/mod-shortest-path.md

    - 连通性相关:

      - 强连通分量: graph/scc.md

      - 双连通分量: graph/bcc.md