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### 使用$CDQ$实现偏序问题

$CDQ$ 分治本身很好理解,只是复杂度有点玄学而已。

### 逆序对问题

贡献定义为 $j=1...i-1$ 中求出 $a[j]>a[i]$。这样子朴素的算法就很简单,只需要对 $1...i-1$ 进行遍历,时间复杂度 $O(n^2)$。不过也有 $O(n\ log\ n)$ 的方法,这里做下铺垫,先讲解权值线段树的做法。

每加入一个数字,我们可以把这个数字插入到权值线段树中,如下:

![](https://i.loli.net/2018/08/29/5b86365187bf2.png)

当到第 $i$ 个数字的时候,我们就可以直接在权值线段树中查询 $num[i]...max$ (其中 $max$ 为 $1...i-1$ 最大的值)。这就是第 $i$ 个数的贡献。查询完以后记得要继续插入此数。

### 权值线段树转化为树状数组

这就比较好理解,跟权值线段树大同小异,查询、修改都差不多(甚至是参数也相同)。

### 偏序问题的定义

什么是偏序? $N$ 维偏序,也就是给你 $N$ 个数组,$i$的贡献定义为数组 $1$ 数组 $2.....$ 数组 $N$ 的第 $i$ 个数在这 $N$ 个数组中满足 数组 $1[i]$

 $2[i] .... N[i] \leq 1[j],2[j]....N[j]$。($1\leq i,j\leq N$)

或许有点模糊,我们用二维偏序来说。给定数组 $a,b$。如果 $a[j]\leq a[i]$ 且 $b[j]\leq b[i]$ 的话,就算是一个贡献。$N$ 维也是如此。

### 如何解决问题

其实都可以用权值线段树或者树状数组来完成此类问题,这里来讲一下 $CDQ$ 分治。 $CDQ$ 分治和其它数据结构差不多,几乎都是每多一维,时间复杂度多个 $log\ n$。那么二维偏序直接用树状数组,这里不多说。

$CDQ$ 大体可以认为是 先算出 $l$~$mid$ 的贡献,然后算出 $l$对$r$ 的贡献,最后再算 $mid$~$r$ 的贡献。对于 $l$~$mid$ 和 $mid$~$r$ 的贡献,可以直接 $CDQ(l,mid),CDQ(r,mid)$。为什么呢?因为分治以后它们会对自己的 $l$~$r$ 算自己的贡献,所以这样子木有问题。现在讨论的重点就是如何求出 $l$~$r$ 的贡献。

三维偏序问题: 偏序问题的第一维,我们是直接排序的。注意要按第 $1$ 个数组为第 $1$ 关键字,第 $2$ 个为第 $2$ 个关键字 $.....$。然后我们就可以保证整个数组 $a[i]\leq a[j]\ (i\leq j)$。我们现在有一个区间 $l,r$ ,我们先 $CDQ(l,mid)$。随后我们给 $l,r$ 这个区间进行编号, $num[i]:=i$(这个时候 $num$ 为编号)。我们再用一个数组 $element[l$~$r]$ 为 $l$~$r$ 的 $b[i]$,然后进行 $Sort(l,r)$。其中 $element$ 为第一关键字, $num$ 为第二关键字。

最后循环扫一遍,因为这个时候后已经满足 $b[i]\leq b[j]\ (i\leq j)$。我们就可以按照逆序对这样子,对权值线段树(树状数组)插入第三维 $c[i]$。如果 $num[i]\leq mid$ 的话,我们就插入,否则算贡献。为什么这样子呢?因为现在满足的是 $b[i]\leq b[j]\ (i\leq j)$ ,而 $num[i]\leq mid$ 可以满足 $a[l$~$mid]\leq a[mid+1$~$r]$,我们只需要对 $c$ 数组进行逆序对一样的操作。

```pascal

procedure CDQ(l,r:longint);

var

    mid,i,j:longint;

begin

    if l=r then exit; //到了叶子,退出

    mid:=(l+r) div 2;

    CDQ(l,mid); //先左边

    for i:=l to r do //赋值

    begin

        element[i]:=point[2,i]; //第二维

        num[i]:=i; //编号

    end;

    Sort_2(l,r); //进行排序,关键字如上述

    for i:=l to r do

        if num[i]<=mid then //左边的,插入

            Insert(point[3,num[i]],1)

        else

            inc(value[num[i]],Query(point[3,num[i]])); //算贡献

    for i:=l to r do //还原树状数组

        if num[i]<=mid then

            Insert(point[3,num[i]],-1); //还原,所以是-1

    CDQ(mid+1,r); //再往右边

end;

```

$a[l$~$mid]\leq a[mid+1$~$r]$ 是只能算出 $l$ 对 $r$ 的贡献的,所以就需要分治啦。最后别忘了还原树状数组和 $CDQ(mid+1,r)$!!! 加上树状数组时间复杂度 $O(n\ (log\ n)^2)$。

三维偏序就如此,谢谢大家。