Loading docs/misc/cdq-divide.md +66 −0 Original line number Diff line number Diff line ### 使用 $CDQ$ 实现偏序问题 $CDQ$ 分治本身很好理解, 只是复杂度有点玄学而已。 ### 逆序对问题 贡献定义为 $j=1...i-1$ 中求出 $a[j]>a[i]$。这样子朴素的算法就很简单, 只需要对 $1...i-1$ 进行遍历, 时间复杂度 $O(n^2)$。不过也有 $O(n\ log\ n)$ 的方法, 这里做下铺垫, 先讲解权值线段树的做法。 每加入一个数字, 我们可以把这个数字插入到权值线段树中, 如下:  当到第 $i$ 个数字的时候, 我们就可以直接在权值线段树中查询 $num[i]...max$ (其中 $max$ 为 $1...i-1$ 最大的值)。这就是第 $i$ 个数的贡献。查询完以后记得要继续插入此数。 ### 权值线段树转化为树状数组 这就比较好理解, 跟权值线段树大同小异, 查询、修改都差不多(甚至是参数也相同)。 ### 偏序问题的定义 什么是偏序? $N$ 维偏序, 也就是给你 $N$ 个数组,$i$ 的贡献定义为数组 $1$ 数组 $2.....$ 数组 $N$ 的第 $i$ 个数在这 $N$ 个数组中满足 数组 $1[i]$ $2[i] .... N[i] \leq 1[j],2[j]....N[j]$。($1\leq i,j\leq N$) 或许有点模糊, 我们用二维偏序来说。给定数组 $a,b$。如果 $a[j]\leq a[i]$ 且 $b[j]\leq b[i]$ 的话, 就算是一个贡献。$N$ 维也是如此。 ### 如何解决问题 其实都可以用权值线段树或者树状数组来完成此类问题, 这里来讲一下 $CDQ$ 分治。 $CDQ$ 分治和其它数据结构差不多, 几乎都是每多一维, 时间复杂度多个 $log\ n$。那么二维偏序直接用树状数组, 这里不多说。 $CDQ$ 大体可以认为是 先算出 $l \cdots mid$ 的贡献, 然后算出 $l$ 对 $r$ 的贡献, 最后再算 $mid \cdots r$ 的贡献。对于 $l \cdots mid$ 和 $mid \cdots r$ 的贡献, 可以直接 $CDQ(l,mid),CDQ(r,mid)$。为什么呢? 因为分治以后它们会对自己的 $l \cdots r$ 算自己的贡献, 所以这样子木有问题。现在讨论的重点就是如何求出 $l \cdots r$ 的贡献。 三维偏序问题: 偏序问题的第一维, 我们是直接排序的。注意要按第 $1$ 个数组为第 $1$ 关键字, 第 $2$ 个为第 $2$ 个关键字 $.....$。然后我们就可以保证整个数组 $a[i]\leq a[j]\ (i\leq j)$。我们现在有一个区间 $l,r$ , 我们先 $CDQ(l,mid)$。随后我们给 $l,r$ 这个区间进行编号, $num[i]:=i$(这个时候 $num$ 为编号)。我们再用一个数组 $element[l \cdots r]$ 为 $l \cdots r$ 的 $b[i]$, 然后进行 $Sort(l,r)$。其中 $element$ 为第一关键字, $num$ 为第二关键字。 最后循环扫一遍, 因为这个时候后已经满足 $b[i]\leq b[j]\ (i\leq j)$。我们就可以按照逆序对这样子, 对权值线段树 (树状数组) 插入第三维 $c[i]$。如果 $num[i]\leq mid$ 的话, 我们就插入, 否则算贡献。为什么这样子呢? 因为现在满足的是 $b[i]\leq b[j]\ (i\leq j)$ , 而 $num[i]\leq mid$ 可以满足 $a[l .. mid]\leq a[mid+1 .. r]$, 我们只需要对 $c$ 数组进行逆序对一样的操作。 ```pascal procedure CDQ(l,r:longint); var mid,i,j:longint; begin if l=r then exit; // 到了叶子, 退出 mid:=(l+r) div 2; CDQ(l,mid); // 先左边 for i:=l to r do // 赋值 begin element[i]:=point[2,i]; // 第二维 num[i]:=i; // 编号 end; Sort_2(l,r); // 进行排序, 关键字如上述 for i:=l to r do if num[i]<=mid then // 左边的, 插入 Insert(point[3,num[i]],1) else inc(value[num[i]],Query(point[3,num[i]])); // 算贡献 for i:=l to r do // 还原树状数组 if num[i]<=mid then Insert(point[3,num[i]],-1); // 还原, 所以是 - 1 CDQ(mid+1,r); // 再往右边 end; ``` $a[l..mid]\leq a[mid+1..r]$ 是只能算出 $l$ 对 $r$ 的贡献的, 所以就需要分治啦。最后别忘了还原树状数组和 $CDQ(mid+1,r)$!!! 加上树状数组时间复杂度 $O(n\ (log\ n)^2)$。 三维偏序就如此, 谢谢大家。 Loading
docs/misc/cdq-divide.md +66 −0 Original line number Diff line number Diff line ### 使用 $CDQ$ 实现偏序问题 $CDQ$ 分治本身很好理解, 只是复杂度有点玄学而已。 ### 逆序对问题 贡献定义为 $j=1...i-1$ 中求出 $a[j]>a[i]$。这样子朴素的算法就很简单, 只需要对 $1...i-1$ 进行遍历, 时间复杂度 $O(n^2)$。不过也有 $O(n\ log\ n)$ 的方法, 这里做下铺垫, 先讲解权值线段树的做法。 每加入一个数字, 我们可以把这个数字插入到权值线段树中, 如下:  当到第 $i$ 个数字的时候, 我们就可以直接在权值线段树中查询 $num[i]...max$ (其中 $max$ 为 $1...i-1$ 最大的值)。这就是第 $i$ 个数的贡献。查询完以后记得要继续插入此数。 ### 权值线段树转化为树状数组 这就比较好理解, 跟权值线段树大同小异, 查询、修改都差不多(甚至是参数也相同)。 ### 偏序问题的定义 什么是偏序? $N$ 维偏序, 也就是给你 $N$ 个数组,$i$ 的贡献定义为数组 $1$ 数组 $2.....$ 数组 $N$ 的第 $i$ 个数在这 $N$ 个数组中满足 数组 $1[i]$ $2[i] .... N[i] \leq 1[j],2[j]....N[j]$。($1\leq i,j\leq N$) 或许有点模糊, 我们用二维偏序来说。给定数组 $a,b$。如果 $a[j]\leq a[i]$ 且 $b[j]\leq b[i]$ 的话, 就算是一个贡献。$N$ 维也是如此。 ### 如何解决问题 其实都可以用权值线段树或者树状数组来完成此类问题, 这里来讲一下 $CDQ$ 分治。 $CDQ$ 分治和其它数据结构差不多, 几乎都是每多一维, 时间复杂度多个 $log\ n$。那么二维偏序直接用树状数组, 这里不多说。 $CDQ$ 大体可以认为是 先算出 $l \cdots mid$ 的贡献, 然后算出 $l$ 对 $r$ 的贡献, 最后再算 $mid \cdots r$ 的贡献。对于 $l \cdots mid$ 和 $mid \cdots r$ 的贡献, 可以直接 $CDQ(l,mid),CDQ(r,mid)$。为什么呢? 因为分治以后它们会对自己的 $l \cdots r$ 算自己的贡献, 所以这样子木有问题。现在讨论的重点就是如何求出 $l \cdots r$ 的贡献。 三维偏序问题: 偏序问题的第一维, 我们是直接排序的。注意要按第 $1$ 个数组为第 $1$ 关键字, 第 $2$ 个为第 $2$ 个关键字 $.....$。然后我们就可以保证整个数组 $a[i]\leq a[j]\ (i\leq j)$。我们现在有一个区间 $l,r$ , 我们先 $CDQ(l,mid)$。随后我们给 $l,r$ 这个区间进行编号, $num[i]:=i$(这个时候 $num$ 为编号)。我们再用一个数组 $element[l \cdots r]$ 为 $l \cdots r$ 的 $b[i]$, 然后进行 $Sort(l,r)$。其中 $element$ 为第一关键字, $num$ 为第二关键字。 最后循环扫一遍, 因为这个时候后已经满足 $b[i]\leq b[j]\ (i\leq j)$。我们就可以按照逆序对这样子, 对权值线段树 (树状数组) 插入第三维 $c[i]$。如果 $num[i]\leq mid$ 的话, 我们就插入, 否则算贡献。为什么这样子呢? 因为现在满足的是 $b[i]\leq b[j]\ (i\leq j)$ , 而 $num[i]\leq mid$ 可以满足 $a[l .. mid]\leq a[mid+1 .. r]$, 我们只需要对 $c$ 数组进行逆序对一样的操作。 ```pascal procedure CDQ(l,r:longint); var mid,i,j:longint; begin if l=r then exit; // 到了叶子, 退出 mid:=(l+r) div 2; CDQ(l,mid); // 先左边 for i:=l to r do // 赋值 begin element[i]:=point[2,i]; // 第二维 num[i]:=i; // 编号 end; Sort_2(l,r); // 进行排序, 关键字如上述 for i:=l to r do if num[i]<=mid then // 左边的, 插入 Insert(point[3,num[i]],1) else inc(value[num[i]],Query(point[3,num[i]])); // 算贡献 for i:=l to r do // 还原树状数组 if num[i]<=mid then Insert(point[3,num[i]],-1); // 还原, 所以是 - 1 CDQ(mid+1,r); // 再往右边 end; ``` $a[l..mid]\leq a[mid+1..r]$ 是只能算出 $l$ 对 $r$ 的贡献的, 所以就需要分治啦。最后别忘了还原树状数组和 $CDQ(mid+1,r)$!!! 加上树状数组时间复杂度 $O(n\ (log\ n)^2)$。 三维偏序就如此, 谢谢大家。
