feat: add 支配集、覆盖集、独立集、匹配

设 $D$ 为 $n (n \geq 1)$ 阶有向简单图，若对于任意的 $v_i, v_j \in V(D)(v_i \neq v_j)$，有向边 $<v_i, v_j>$ 和 $<v_j, v_i>$ 中有且仅有一个属于 $E(D)$，则称 $D$ 为 $n$ 阶竞赛图。

### 正则图

各顶点的度均相同的无向简单图。

### 路径的长度

一般来说，路径的长度在数值上等于路径的边数，或者如果边是带权的，则是路径的边权和。

## 支配集

设无向图 $G=<V,E>, V^*\subset V$，若对任意的 $v_i \in V-V^*$，都存在 $v_j \in V^*$，使得 $(v_i, v_j) \in E$，则称 $v_j$ 支配 $v_i$，并称 $V^*$ 为 $G$ 的一个支配集。最小支配集的顶点个数记为 $\gamma_0$

## 独立集

### 点独立集

设无向图 $G=<V,E>, V^*\subset V$，若 $V^*$ 中任意两个顶点均不相邻，则称 $V^*$ 为 $G$ 的点独立集，或称独立集。最大点独立集的顶点个数记做 $\beta_0$

若 $G$ 中无孤立点，$V^*$ 为 $G$ 中极大独立集，啧 $V^*$ 为极小独立集。

### 匹配

设无向图 $G=<V,E>, E^*\subset E$，若 $E^*$ 中任意两个边均不相邻，则称 $E^*$ 为 $G$ 的边独立集，或称匹配。最大匹配的边数记做 $\beta_1$

设 $M_1, M_2$ 为两个不同的匹配，则 $G[M_1 \oplus M_2]$ 的每个连通分支为 $M_1, M_2$ 中的边组成的交错圈或交错路径。

#### 相关定义

设 $M$ 为图 $G$ 的匹配：

$M$ 饱和点：匹配 $M$ 中边关联的点

完美匹配：每个顶点都是 $M$ 饱和点

增广路：在 $M$ 和 $E(G)-M$ 中交替取边的交错路径，且起点和终点都是 $M$ 非饱和点

#### 托特定理

$n$ 阶无向图 $G$ 有完美匹配当且仅当对于任意的 $V' \subset V(G)$，$p_{奇}(G-V')\leq |V'|$，其中 $p_{奇}$ 表示奇数阶连通分支数。

推论：任何无桥 3-正则图都有完美匹配。

## 覆盖集

### 点覆盖

设无向图 $G=<V,E>, V^*\subset V$，若对于任意的 $e \in E$，都存在 $v \in V^*$，使得 $v$ 与 $e$ 相关联，则称 $v$ 覆盖 $e$，称 $V^*$ 为 $G$ 中点覆盖集。最小点覆盖集的元素个数记为 $\alpha_0$

点覆盖集必为支配集，但极小点覆盖集不一定是极小支配集。

若 $V^*$ 为点覆盖集，则 $V-V^*$ 为点独立集。

### 边覆盖

设无向图 $G=<V,E>, E^*\subset E$，若对于任意的 $v \in V$，都存在 $e \in E^*$，使得 $v$ 与 $e$ 相关联，则称 $e$ 覆盖 $v$，称 $E^*$ 为 $G$ 中边覆盖集。最小边覆盖集的元素个数记为 $\alpha_1$

边覆盖与匹配的关系：

1.   对于一个最大匹配 $M$，对其每个非饱和点取一条关联的边组成的边集 $N$，则 $W=M \cup N$ 为一个最小边覆盖集。（$\beta_1 \leq \alpha_1$）

2.   对于一个最小边覆盖集 $W_1$，若 $W_1$ 中存在相邻的边就移去其中的一条边，继续这一过程，直到无相邻边，设移去的边集合为 $N_1$，则 $M_1=W_1-N_1$ 为一个最大匹配。

3.   $\alpha_1 + \beta_1 = n$

4.   对图 $G$，$M$ 为一个匹配， $W$ 为一个边覆盖，则 $|M| \leq |W|$。等号成立时分别为完美匹配和最小边覆盖。

对图 $G$，$M$ 为一个匹配， $W$ 为一个边覆盖，$N$ 为一个点覆盖，$Y$ 为一个点独立集，则：

1.    $|M| \leq |N|$

2.    $|Y| \leq |W|$

推论： $\beta_1 \leq \alpha_0, \beta_0 \leq \alpha_1$

对于完全二部图 $K_{r,s}$，有： $\alpha_0=\min\{r,s\}=\beta_1, \beta_0=\max\{r,s\}=\alpha_1$

## 团

设无向图 $G=<V,E>, V^*\subset V$，若导出子图$G[V^*]$ 是完全图，则称 $V^*$ 为团。最大团的顶点个数称为团数，记做 $\nu_0$

$V^*$ 为 $G$ 的团当且仅当 $V^*$ 为 $\bar{G}$ 的独立集。

推论：$\nu_0(G) = \beta_0(\bar{G})$

??? note

    到目前为止，求图中的极小（最小）支配集、极小（最小）点覆盖、极大（最大）独立集和极大（最大）团还没有找到有效的多项式时间算法。

      - 最小割: graph/flow/min-cut.md

      - 费用流: graph/flow/min-cost.md

      - 上下界网络流: graph/flow/bound.md

    - 图论杂项: graph/misc.md

  - 计算几何:

    - 计算几何部分简介: geometry/index.md

    - 二维计算几何基础: geometry/2d.md