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（为人教版高中数学 A 版教科书必修四内容）

> 平面的向量交错生长

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> 织成

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> 平面的向量交错生长<br />

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> ——《膜你抄》

**有向线段**：带有方向的线段称为有向线段。有向线段有三要素：**起点，方向，长度**，知道了三要素，终点就唯一确定。我们用有向线段表示向量。

**向量的模**：有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。记为：$|\overrightarrow{AB}|$。

**向量的模**：有向线段 $\vec{AB}$ 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。记为：$|\vec{AB}|$。

**零向量**：模为 $0$ 的向量。零向量的方向任意。记为： $\overrightarrow 0$ 或 **0**。

**零向量**：模为 $0$ 的向量。零向量的方向任意。记为： $\vec{0}$ 或 $\mathbf{0}$。

**单位向量**：模为 $1$ 的向量称为该方向上的单位向量。

**相反向量**：模相等且方向相反的向量。

**向量的夹角**：已知两个非零向量 $\vec a,\vec b$，作 $\overrightarrow{OA}=\vec a,\overrightarrow{OB}=\vec b$，那么 $\theta=\angle \text{AOB}$ 就是向量 $\vec a$ 与向量 $\vec b$ 的夹角。记作：$\langle \vec a,\vec b\rangle$。显然当 $\theta =0$ 时两向量同向，$\theta=\pi$ 时两向量反向，$\theta=\frac{\pi}{2}$ 时我们说两向量垂直，记作 $\vec a\perp \vec b$。并且，我们规定 $\theta \in [0,\pi]$。

**向量的夹角**：已知两个非零向量 $\vec a,\vec b$，作 $\vec{OA}=\vec a,\vec{OB}=\vec b$，那么 $\theta=\angle \text{AOB}$ 就是向量 $\vec a$ 与向量 $\vec b$ 的夹角。记作：$\langle \vec a,\vec b\rangle$。显然当 $\theta =0$ 时两向量同向，$\theta=\pi$ 时两向量反向，$\theta=\frac{\pi}{2}$ 时我们说两向量垂直，记作 $\vec a\perp \vec b$。并且，我们规定 $\theta \in [0,\pi]$。

呼……我们一口气把数学书上 2.1.3 之前的定义都给出了。

（呼……我们一口气把数学书上 2.1.3 之前的定义都给出了。）

我们考虑平行向量，可以任作一条直线与这些向量平行，那么任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量又叫**共线向量**。

我们定义了一种量，就希望让它具有运算。向量的运算可以类比数的运算，但是我们从物理学的角度出发研究向量的运算。

我们考虑物理学中的位移概念，假如一个人从 $A$ 经 $B$ 走到 $C$，我们说他经过的位移为 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，这其实等价于这个人直接从 $A$ 走到 $C$，即 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$。

我们考虑物理学中的位移概念，假如一个人从 $A$ 经 $B$ 走到 $C$，我们说他经过的位移为 $\vec{AB}+\vec{BC}$，这其实等价于这个人直接从 $A$ 走到 $C$，即 $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$。

注意到力的合成法则——平行四边形法则，同样也可以看做一些向量相加。

这也是向量减法的几何意义。

我们有时候有两点 $A,B$，想知道 $\overrightarrow{AB}$，可以利用减法运算 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ 获得。

我们有时候有两点 $A,B$，想知道 $\vec{AB}$，可以利用减法运算 $\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}$ 获得。

#### 1.2.2. 向量的数乘

考虑 $\vec b=\vec a+\vec a+\vec a$，$\vec b$ 等于三个 $\vec a$ 相加，我们记为 $\vec b=3\vec a$。

考虑 $\vec b=\vec a+\vec a+\vec a$，$\vec b$ 等于 3 个 $\vec a$ 相加，我们记为 $\vec b=3\vec a$。

同样的，$\vec c=-\vec a-\vec a-\vec a$，那么 $\vec c=3(-\vec a)=-3\vec a$。

我们再加入一个向量，用两个**不共线**向量表示（两个共线向量在此可以看成同一个向量），这样我们可以把任意一个平面向量分解到这两个向量的方向上了。

也就是说，如果两个向量 $\overrightarrow {e_1},\overrightarrow {e_2}$ 不共线，那么存在唯一实数对 $(x,y)$，使得与 $\overrightarrow {e_1},\overrightarrow {e_2}$ 共面的任意向量 $\overrightarrow p$ 满足 $\overrightarrow p=x\overrightarrow {e_1}+y\overrightarrow {e_2}$，这就是**平面向量基本定理**。在同一平面内的两个不共线的向量称为**基底**。

也就是说，如果两个向量 $\vec{e_1},\vec{e_2}$ 不共线，那么存在唯一实数对 $(x,y)$，使得与 $\vec{e_1},\vec{e_2}$ 共面的任意向量 $\vec p$ 满足 $\vec p=x\vec{e_1}+y\vec{e_2}$，这就是**平面向量基本定理**。在同一平面内的两个不共线的向量称为**基底**。

如果基底相互垂直，那么我们在分解的时候就是对向量**正交分解**。

由于平面向量基本定理，我们发现这样的实数对 $(x,y)$ 是唯一的。这样，平面内的任意向量都可以用有序实数对唯一确定，我们把 $(x,y)$ 叫做向量的**坐标**。记作：$\vec p=(x,y)$。

这样没问题？是的，因为有序实数对 $(x,y)$ 与平面直角坐标系上的点唯一确定，那么我们作 $\overrightarrow{OP}=\vec p$，那么终点 $P(x,y)$ 也是唯一确定的。由于我们研究的都是自由向量，可以自由平移起点，这样，在平面直角坐标系里，每一个向量都可以用有序实数对唯一表示。

这样没问题？是的，因为有序实数对 $(x,y)$ 与平面直角坐标系上的点唯一确定，那么我们作 $\vec{OP}=\vec p$，那么终点 $P(x,y)$ 也是唯一确定的。由于我们研究的都是自由向量，可以自由平移起点，这样，在平面直角坐标系里，每一个向量都可以用有序实数对唯一表示。

#### 1.3.3. 平面向量的坐标运算

k\vec a=(km,kn)

$$

有了坐标运算，我们已知两点 $A(a,b),B(c,d)$，想知道 $\overrightarrow{AB}$ 就不难了，只需要 $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ 即可，也就是 $\overrightarrow{AB}=(c-a,d-b)$。

有了坐标运算，我们已知两点 $A(a,b),B(c,d)$，想知道 $\vec{AB}$ 就不难了，只需要 $\vec{OB}-\vec{OA}$ 即可，也就是 $\vec{AB}=(c-a,d-b)$。

有时候，我们需要将一个点 $P$ 沿一定方向平移某单位长度，这样我们把要平移的方向和距离组合成一个向量，利用向量加法的三角形法则，将 $\overrightarrow{OP}$ 加上这个向量，得到的向量终点即为平移后的点。

有时候，我们需要将一个点 $P$ 沿一定方向平移某单位长度，这样我们把要平移的方向和距离组合成一个向量，利用向量加法的三角形法则，将 $\vec{OP}$ 加上这个向量，得到的向量终点即为平移后的点。

利用向量的坐标运算，我们可以做许多平移操作了！

还可以判断向量共线，在此给出依据：

若 $A,B,C$ 三点共线，则 $\overrightarrow{OB}=\lambda \overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OC}$。

若 $A,B,C$ 三点共线，则 $\vec{OB}=\lambda \vec{OA}+(1-\lambda)\vec{OC}$。

证明很简单，~~留作课后作业。~~