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跳表（Skip List）是由 William Pugh 发明的一种查找数据结构结构，支持对数据的快速查找，插入和删除。

跳表的期望空间复杂度为 $O(n)$ ，跳表的查询，插入和删除操作的期望复杂度都为 $O(\log n)$ 。

跳表的期望空间复杂度为 $O(n)$ ，跳表的查询，插入和删除操作的期望时间复杂度都为 $O(\log n)$ 。

## 基本思想

一个有序链表的查找操作，就是从头部开始逐个比较，直到当前节点的值大于或者等于目标节点的值。很明显，这个操作的复杂度是 $O(n)$ 。

跳表在有序链表的基础上，引入了 **分层** 的概念。首先，跳表的每一层都是一个有序链表，特别地，最底层是一个初始的有序链表。每个位于第 $i$ 层的节点有 $p$ 的概率出现在第 $i+1$ 层， $p$ 为常数。可以计算出，跳表的期望层数为 $\log_{\frac{1}{p}}n$ 。

跳表在有序链表的基础上，引入了 **分层** 的概念。首先，跳表的每一层都是一个有序链表，特别地，最底层是初始的有序链表。每个位于第 $i$ 层的节点有 $p$ 的概率出现在第 $i+1$ 层， $p$ 为常数。可以计算出，跳表的期望层数为 $\log_{\frac{1}{p}}n$ 。

在跳表中查找，就是从最高层开始，水平地逐个比较，直至当前节点大于等于目标节点。若是当前节点等于目标节点，则成功查找；若是大于目标节点或者是达到链表的末尾，就退回上一个元素后下降到下一层，直到找到目标节点或者达到最底层的末尾。这样一来，查找的过程中会跳过一些没有必要的比较，所以相比于有序链表的查询，跳表的查询更快。可以证明，跳表查询的平均复杂度为 $O(\log n)$ 。

### 空间复杂度

对于一个节点节点而言，节点的最高层数为 $i$ 的概率为 $p^{i-1}(1 - p)$ 。所以，跳表的期望层数为 $\sum_{i=1}^{\infin} ip^{i - 1}(1-p) = \frac{1}{1 - p}$ 。又因为 $p$ 为常数，所以跳表的 **平均空间复杂度** 为 $O(n)$ 。

对于一个节点节点而言，节点的最高层数为 $i$ 的概率为 $p^{i-1}(1 - p)$ 。所以，跳表的期望层数为 

$$

\sum_{i=1}^{\infin} ip^{i - 1}(1-p) = \frac{1}{1 - p},

$$

且因为 $p$ 为常数，所以跳表的 **期望空间复杂度** 为 $O(n)$ 。

在最坏的情况下，每一层有序链表等于初始有序链表，即跳表的 **最差空间复杂度** 为 $O(n \log n)$ 。

记 n 个节点的跳表的期望层数为 $L(n)$ 。

从后向前分析查找路径，这个过程可以分为从底层爬到第 $L(n)$ 层和后续操作两个部分。在分析时，假设一个节点的具体信息在它被访问之前是未知的。

从后向前分析查找路径，这个过程可以分为从最底层爬到第 $L(n)$ 层和后续操作两个部分。在分析时，假设一个节点的具体信息在它被访问之前是未知的。

假设当前我们处于一个第 $i$ 层的节点 $x$ ，我们并不知道 $x$ 的最大层数和 $x$ 左侧节点的最大层数，只知道 $x$ 的最大层数至少为 $i$ 。如果 $x$ 的最大层数大于 $i$ ，那么下一步应该是向上走，这种情况的概率为 $p$ ；如果 $x$ 的最大层数等于 $i$ ，那么下一步应该是向左走，这种情况概率为 $1-p$ 。

解得 $C(i)=\frac{i}{p}$ 。

可以得出：在长度为 $n$ 的跳表中，从最底层爬到第 $L(n)$ 层的期望步数存在上界 $\frac{L(n) - 1}{p}$ 。

由此可以得出：在长度为 $n$ 的跳表中，从最底层爬到第 $L(n)$ 层的期望步数存在上界 $\frac{L(n) - 1}{p}$ 。

现在只需要分析爬到第 $L(n)$ 层后还要再走多少步。易得，到了第 $L(n)$ 层后，向左走的步数不会超过第 $L(n)$ 层及更高层的节点数总和，而这个总和的期望为 $\frac{1}{p}$ 。所以到了第 $L(n)$ 层后向左走的步数存在上界 $\frac{1}{p}$ 。同理，到了第 $L(n)$ 层后向上走的步数存在上界 $\frac{1}{p}$ 。

现在只需要分析爬到第 $L(n)$ 层后还要再走多少步。易得，到了第 $L(n)$ 层后，向左走的步数不会超过第 $L(n)$ 层及更高层的节点数总和，而这个总和的期望为 $\frac{1}{p}$ 。所以到了第 $L(n)$ 层后向左走的期望步数存在上界 $\frac{1}{p}$ 。同理，到了第 $L(n)$ 层后向上走的期望步数存在上界 $\frac{1}{p}$ 。

所以，跳表查询的期望查找步数为 $\frac{L(n) - 1}{p} + \frac{2}{p}$ ，又因为 $L(n)=\log_{\frac{1}{p}}n$ ，所以跳表查询的 **期望复杂度** 为 $O(\log n)$ 。

所以，跳表查询的期望查找步数为 $\frac{L(n) - 1}{p} + \frac{2}{p}$ ，又因为 $L(n)=\log_{\frac{1}{p}}n$ ，所以跳表查询的 **期望时间复杂度** 为 $O(\log n)$ 。

在最坏的情况下，每一层有序链表等于初始有序链表，查找过程相当于对最高层的有序链表进行查询，即跳表查询操作的 **最差时间复杂度** 为 $O(n)$ 。

插入操作和删除操作就是进行一遍查询的过程，记录途中需要修改的节点，最后完成修改。易得每一层至多只需要修改一个节点，又因为 i 跳表期望高度为 $\log_{\frac{1}{p}}n$ ，所以插入和修改的 **期望复杂度** 也为 $O(\log n)$ 。

插入操作和删除操作就是进行一遍查询的过程，途中记录需要修改的节点，最后完成修改。易得每一层至多只需要修改一个节点，又因为跳表期望层数为 $\log_{\frac{1}{p}}n$ ，所以插入和修改的 **期望时间复杂度** 也为 $O(\log n)$ 。

## 具体实现