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```cpp

int a[MAXN];

int dp() {

  int now = 0, ans = 1;

  int now = 1, ans = 1;

  for (int i = 2; i <= n; i++) {

    if (a[i] > a[i - 1]) ans++;

    now = max(now, ans);

    if (a[i] > a[i - 1])

      now++;

    else

      now = 1;

    ans = max(now, ans);

  }

  return ans;

}

> SAT 是适定性（Satisfiability）问题的简称。一般形式为 k - 适定性问题，简称 k-SAT。而当 $k>2$ 时该问题为 NP 完全的。所以我们之研究 $k=2$ 的情况。

> SAT 是适定性（Satisfiability）问题的简称。一般形式为 k - 适定性问题，简称 k-SAT。而当 $k>2$ 时该问题为 NP 完全的。所以我们只研究 $k=2$ 的情况。

## 定义

## 结点的度数

设图 $G= \langle V,E\rangle$ 为一个有向图， $v\in V$ ，关联于结点 $v$ 的 **边** 的条数，称为点 $v$ 的度数，记作 $deg(v)$ 。

设图 $G= \langle V,E\rangle$ 为一个有向图， $v\in V$ ，关联于结点 $v$ 的 **边** 的条数，称为点 $v$ 的度数，记作 $\deg(v)$ 。

注意：一个自环为它的端点增加 2 度。

当图 $G= \langle V,E\rangle$ 为一个有向图， $v\in V$ ，称以 $v$ 作为始点的边数之和称为结点 $v$ 的出度，记为 $deg^{+} (v)$ 。将以 $v$ 作为终点的边数之和称为结点 $v$ 的入度，记为 $deg^{-} (v)$ 。称以 $v$ 作为端点的边数之和为结点 $v$ 的度数或度，记为 $deg(v)$ 。

当图 $G= \langle V,E\rangle$ 为一个有向图， $v\in V$ ，称以 $v$ 作为始点的边数之和称为结点 $v$ 的出度，记为 $\deg^{+} (v)$ 。将以 $v$ 作为终点的边数之和称为结点 $v$ 的入度，记为 $\deg^{-} (v)$ 。称以 $v$ 作为端点的边数之和为结点 $v$ 的度数或度，记为 $\deg(v)$ 。

显然， $\forall v\in V,deg(v)=deg^{+} (v)+deg^{-} (v)$ 。

显然， $\forall v\in V,\deg(v)=deg^{+} (v)+\deg^{-} (v)$ 。

### 定理 1

 $\sum_{v\in V} deg(v)=2\times |E|$ 

 $\sum_{v\in V} \deg(v)=2\times |E|$ 

推论：在任意图中，度数为奇数的点必然有偶数个。

### 定理 2

 $\sum_{v\in V} deg^{+} (v)=\sum_{v\in V} deg^{-} (v)=|E|$ 

 $\sum_{v\in V} \deg^{+} (v)=\sum_{v\in V} \deg^{-} (v)=|E|$ 

即所有点入度之和等于出度之和。

树：边数比结点数少一的连通图。更多内容，详见[树相关基础](/graph/tree-basic/)。

森林：由 $m$ 棵（ $m\ge 0$ ）互不相交的树组成的图。

森林：由 $m​$ 棵（ $m\ge 0​$ ）互不相交的树组成的图。

基环树：边数和点数相等的连通图。

仙人掌：每个结点至多在一个简单环上的图。

在无向图中，关联一对顶点的边多于 1 条，则称这些边为重边（平行边），重边的条数称为重数。

在无向图中，关联一对顶点的边多于 $1$ 条，则称这些边为重边（平行边），重边的条数称为重数。

简单图：不含重边和自环的图。

多重图：含重边的图。

完全图：每对不同的顶点之间都恰连有一条边相连的简单无向图。容易证明， $n$ 个顶点的完全图有 $\frac{n\times (n-1)}{2}$ 条边。

完全图：每对不同的顶点之间都恰连有一条边相连的简单无向图。容易证明， $n$ 个顶点的完全图有 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 条边。

竞赛图：通过在完全图中为每条边分配方向而获得的有向图。

那么假如我们可以快速对 $\sum_{i=1}^n(f\times g)(i)$ 求和，并用数论分块求解 $\sum_{i=2}^ng(i)S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right)$ 就可以在较短时间内求得 $g(1)S(n)$.

## 【例 1】模板

## 问题一

??? note " [P4213【模板】杜教筛（Sum）](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4213)"

    题目大意：求 $S_1(n)= \sum_{i=1}^{n} \mu(i)$ 和 $S_2(n)= \sum_{i=1}^{n} \varphi(i)$ 的值， $n\le 2^{31} -1$ 。

### 求解 $\mu$ 前缀和

### 莫比乌斯函数前缀和

由 **狄利克雷卷积** ，我们知道：

对于较大的值，需要用 `map` 存下其对应的值，方便以后使用时直接使用之前计算的结果。

### 求解 $\varphi$ 前缀和

### 欧拉函数前缀和

当然也可以用杜教筛求出 $\varphi (x)$ 的前缀和，但是更好的方法是应用莫比乌斯反演：

观察到，只需求出莫比乌斯函数的前缀和，就可以快速计算出欧拉函数的前缀和了。时间复杂度 $O(n^{\frac 2 3})$ 。

### 使用杜教筛求解 $\varphi$ 前缀和

#### 使用杜教筛求解

求 $S(i)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)$.

}

```

## 【例 2】简单的数学题

## 问题二

??? note " [[LuoguP3768] 简单的数学题](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3768)"

    大意：求