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## 简介 ##

  模拟退火是一种随机化算法。当一个问题的方案数量极大（甚至是无穷的）而且不是一个单峰函数时，我们常使用模拟退火求解。

模拟退火是一种随机化算法。当一个问题的方案数量极大（甚至是无穷的）而且不是一个单峰函数时，我们常使用模拟退火求解。

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## 实现 ##

  根据爬山算法（详见 [爬山算法 - OI Wiki](https://oi-wiki.org/misc/hill-climbing/)）的过程，我们发现：对于一个当前最优解附近的非最优解，爬山算法直接舍去了这个解。而很多情况下，我们需要去接受这个非最优解从而跳出这个局部最优解，即为模拟退火算法。

根据爬山算法（详见 [爬山算法 - OI Wiki](https://oi-wiki.org/misc/hill-climbing/)）的过程，我们发现：对于一个当前最优解附近的非最优解，爬山算法直接舍去了这个解。而很多情况下，我们需要去接受这个非最优解从而跳出这个局部最优解，即为模拟退火算法。

> **什么是退火？**（选自百度百科）

>

> 退火是一种金属热处理工艺，指的是将金属缓慢加热到一定温度，保持足够时间，然后以适宜速度冷却。目的是降低硬度，改善切削加工性；消除残余应力，稳定尺寸，减少变形与裂纹倾向；细化晶粒，调整组织，消除组织缺陷。准确的说，退火是一种对材料的热处理工艺，包括金属材料、非金属材料。而且新材料的退火目的也与传统金属退火存在异同。

  由于退火的规律引入了更多随机因素，那么我们得到最优解的概率会大大增加。于是我们可以去模拟这个过程，将目标函数作为能量函数。

由于退火的规律引入了更多随机因素，那么我们得到最优解的概率会大大增加。于是我们可以去模拟这个过程，将目标函数作为能量函数。

### 模拟退火算法描述 ###

  先用一句话概括：如果新状态的解更优则修改答案，否则以一定概率接受新状态。

先用一句话概括：如果新状态的解更优则修改答案，否则以一定概率接受新状态。

  我们定义当前温度为 $T$，新状态与已知状态（由已知状态通过随机的方式得到）之间的能量（值）差为 $\Delta E$（$\Delta E\geqslant 0$），则发生状态转移（修改最优解）的概率为

我们定义当前温度为 $T$，新状态与已知状态（由已知状态通过随机的方式得到）之间的能量（值）差为 $\Delta E$（$\Delta E\geqslant 0$），则发生状态转移（修改最优解）的概率为

$$

P(\Delta E)=

\end{cases}

$$

  **注意**：我们有时为了使得到的解更有质量，会在模拟退火结束后，以当前温度在得到的解附近多次随机状态，尝试得到更优的解（其过程与模拟退火相似）。

**注意**：我们有时为了使得到的解更有质量，会在模拟退火结束后，以当前温度在得到的解附近多次随机状态，尝试得到更优的解（其过程与模拟退火相似）。

### 如何退火（降温）？ ###

  模拟退火时我们有三个参数：初始温度 $T_0$，降温系数 $d$，终止温度 $T_k$。其中 $T_0$ 是一个比较大的数，$d$ 是一个非常接近 $1$ 但是小于 $1$ 的数，$T_k$ 是一个接近 $0$ 的正数。

模拟退火时我们有三个参数：初始温度 $T_0$，降温系数 $d$，终止温度 $T_k$。其中 $T_0$ 是一个比较大的数，$d$ 是一个非常接近 $1$ 但是小于 $1$ 的数，$T_k$ 是一个接近 $0$ 的正数。

&emsp;&emsp;首先让温度 $T=T_0$，然后按照上述步骤进行一次转移尝试，再让 $T=d\cdot T$。当 $T<T_k$ 时模拟退火过程结束，当前最优解即为最终的最优解。

首先让温度 $T=T_0$，然后按照上述步骤进行一次转移尝试，再让 $T=d\cdot T$。当 $T<T_k$ 时模拟退火过程结束，当前最优解即为最终的最优解。

  引用一张 [Wiki - Simulated annealing](https://en.wikipedia.org/wiki/Simulated_annealing) 的图片（随着温度的降低，跳跃越来越不随机，最优解也越来越稳定）。

引用一张 [Wiki - Simulated annealing](https://en.wikipedia.org/wiki/Simulated_annealing) 的图片（随着温度的降低，跳跃越来越不随机，最优解也越来越稳定）。

![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d5/Hill_Climbing_with_Simulated_Annealing.gif)

## 代码 ##

  此处代码以 [「BZOJ 3680」吊打XXX](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3680)（求 $n$ 个点的带权类费马点）为例。

此处代码以 [「BZOJ 3680」吊打XXX](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3680)（求 $n$ 个点的带权类费马点）为例。

```cpp

#include <cstdio>