Update treap.md

将一个有 $n$ 个节点的序列 $a_i$ 转化为一棵 treap 。

定义 `Merge(x,y)` 表示将根为 $x$ 和 $y$ 的两棵 Treap 合并成一棵，其根为该函数的返回值。需要保证 $x<y$ 。

定义 ```Merge(x,y)``` 表示将根为 $x$ 和 $y$ 的两棵 Treap 合并成一棵，其根为该函数的返回值。需要保证 $x<y$ 。

定义 `Split(o,k,x,y)` 表示将根为 $o$ 的 Treap 分裂成 $x,y$ 两个部分，保证 $x < y$ ，即将该 Treap 分裂成权值小于等于 $k$ 的项和其他，分别为 $x$ 和 $y$ 。

定义 ```Split(o,k,x,y)``` 表示将根为 $o$ 的 Treap 分裂成 $x,y$ 两个部分，保证 $x < y$ ，即将该 Treap 分裂成权值小于等于 $k$ 的项和其他，分别为 $x$ 和 $y$ 。

可以依次暴力插入这 $n$ 个节点，每次插入一个权值为 $v$ 的节点时，将整棵 treap 按照权值分裂成权值小于等于 $v$ 的和权值大于 $v$ 的两部分，然后新建一个权值为 $v$ 的节点，将两部分和新节点按从小到大的顺序依次合并，时间复杂度 $O(n\log_2 n)$ ，单点插入时间复杂度 $O(\log_2 n)$ 。

```cpp

void build(int n, int a[]) {

void build(int n,int a[])

{

	int x,y;

  for (int i = 1; i <= n; i++) {

	for(int i=1;i<=n;i++)

	{

		split(rt,a[i],x,y);

		rt=merge(merge(x,newnode(a[i])),y);

	}

方法一：直接将这 $n$ 个节点构造成一棵类线段树，即每次选取最中间的节点作为一段区间的树根，这样能保证树高为 $O(\log_2 n)$ 。然后对每个节点钦定优先值，保证其满足堆的性质。

方法二：直接将这 $n$ 个节点构造成一棵类线段树，即每次选取最中间的节点作为一段区间的树根，这样能保证树高为 $O(\log_2 n)$ 。然后给每个节点一个随机优先级，不保证其满足堆的性质。因为非旋式 treap 的优先级不是维护堆的性质，保证树高的，而是使 `merge` 操作更加随机一点，所以也是正确的。

方法二：直接将这 $n$ 个节点构造成一棵类线段树，即每次选取最中间的节点作为一段区间的树根，这样能保证树高为 $O(\log_2 n)$ 。然后给每个节点一个随机优先级，不保证其满足堆的性质。因为非旋式 treap 的优先级不是维护堆的性质，保证树高的，而是使 ```merge``` 操作更加随机一点，所以也是正确的。

方法三：观察到 treap 是一个笛卡尔树，利用笛卡尔树的 $O(n)$ 建树方法即可，用单调栈维护右脊柱即可。

  return 0;

}

```

## 练习题

[luogu P3369 【模板】普通平衡树](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3369)

[luogu P3391 【模板】文艺平衡树（Splay）](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3391)

[luogu P2596 \[ZJOI2006\]书架](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2596)

[luogu P2042 \[NOI2005\]维护数列](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2042)

[CF 702F T-Shirts](http://codeforces.com/problemset/problem/702/F)