杜教筛：订正目录，移除目录中的Latex

那么假如我们可以快速对 $\sum_{i=1}^n(f\times g)(i)$ 求和，并用数论分块求解 $\sum_{i=2}^ng(i)S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right)$ 就可以在较短时间内求得 $g(1)S(n)$.

## 【例 1】模板

## 问题一

??? note " [P4213【模板】杜教筛（Sum）](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4213)"

    题目大意：求 $S_1(n)= \sum_{i=1}^{n} \mu(i)$ 和 $S_2(n)= \sum_{i=1}^{n} \varphi(i)$ 的值， $n\le 2^{31} -1$ 。

### 求解 $\mu$ 前缀和

### 莫比乌斯函数前缀和

由 **狄利克雷卷积** ，我们知道：

对于较大的值，需要用 `map` 存下其对应的值，方便以后使用时直接使用之前计算的结果。

### 求解 $\varphi$ 前缀和

### 欧拉函数前缀和

当然也可以用杜教筛求出 $\varphi (x)$ 的前缀和，但是更好的方法是应用莫比乌斯反演：

观察到，只需求出莫比乌斯函数的前缀和，就可以快速计算出欧拉函数的前缀和了。时间复杂度 $O(n^{\frac 2 3})$ 。

### 使用杜教筛求解 $\varphi$ 前缀和

#### 使用杜教筛求解

求 $S(i)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)$.

}

```

## 【例 2】简单的数学题

## 问题二

??? note " [[LuoguP3768] 简单的数学题](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3768)"

    大意：求