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## 前置知识

FFT，多项式乘法

## Basic Concepts

### 多项式的度

对于一个多项式 $f(x)$ ，称其最高次项的次数为该多项式的 **度（Degree）** ，记作 $\operatorname{deg}{f}$ 。

### 多项式的乘法（FFT）

最核心的操作是两个多项式的乘法，即给定多项式$f(x)$和$g(x)$：

$$

f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n\quad \quad (1)\\ 

g(x)=b_0+b_1x+\dots+b_mx^m\quad \quad (2)

$$

要计算多项式$Q(x)=f(x)\cdot g(x)$：

$$

\boxed {Q(x) = \sum \limits_ {i = 0} ^ n \sum \limits_ {j = 0 } ^ m a_i b_j x ^ {i + j}} = c_0 + c_1 x + \dots + c_ {n + m} x ^ {n + m}

$$

上述过程可以通过快速傅里叶变换在$O(n\log n)$下计算。

### 多项式的逆元

对于多项式 $f(x)$ ，若存在 $g(x)$ 满足：

则称 $g(x)$ 为 $f(x)$ 在模 $x^{n}$ 意义下的 **逆元（Inverse Element）** ，记作 $f^{-1}(x)$ 。

### 多项式的余数和商

对于多项式 $f(x), g(x)$ ，存在 **唯一** 的 $Q(x), R(x)$ 满足：