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### 各种定义

 `子串` ：就是子串[捂脸]

 `子串` ：就是子串。[捂脸]

 `后缀` ：就是从 $i$ 这个位置开始到该字符串的末尾的一个子串

 `后缀` ：就是从 $i$ 这个位置开始到该字符串的末尾的一个子串。

 `字符串大小比较` ： $a$ 和 $b$ 这两个串，从头开始逐个字符按照 ASCII 码进行比较。（按照字典序比较）

 `字符串大小比较` ： 把 $a$ 和 $b$ 这两个串按照字典序进行比较。

 `后缀数组` ： $sa[i]$ 代表该字符串的 $len$ 个后缀中，从 $sa[i]$ 开始的后缀排在为 $i$ 个。 $sa$ 数组记录的是“排第几的哪个后缀”。

 `后缀数组` ： $sa[i]$ 代表该字符串的 $len$ 个后缀中，从 $sa[i]$ 开始的后缀排在为 $i$ 个。 $sa$ 数组记录的是“排第几的是哪个后缀”。

 `名次数组` ： $rank[i]$ 代表从 $i$ 开始的后缀排名为 $rank[i]$ 。 $rank$ 数组记录的是“某个后缀排在第几个”。

### 最简单的暴力

把所有的后缀拆出来，然后 sort。由于直接比较长度为 n 的字符串的时间复杂度为 $O(n)$ ，所以整体时间复杂度为 $O(n^2 \log n)$ 

把所有的后缀拆出来，然后 sort。由于直接比较长度为 $n$ 的字符串的时间复杂度为 $O(n)$ ，所以整体时间复杂度为 $O(n^2 \log n)$。

```cpp

int rank[123], sa[123];

### 倍增法

这个就是一般人写后缀数组用的方法

这个就是一般写后缀数组用的方法，复杂度是 $O(n\log n)$，前提是你要先会**基数排序**。

复杂度是 $O(n\log n)$ 

前提是你要先会**基数排序**

假设我们有这样一个字符串 `aabaaaab` 

然后我们把所有的后缀列举出来：

假设我们有这样一个字符串 `aabaaaab` ，然后我们把所有的后缀列举出来：

![](images/sa1.png)

![](images/sa2.png)

接着我们以第二个字母为关键字，在首字母有序的基础上进行排序，这个时候，我们把首字母相同的后缀拿出来单看

接着我们以第二个字母为关键字，在首字母有序的基础上进行排序，这个时候，我们把首字母相同的后缀拿出来单看。

对于每一组首字母相同的后缀，首字母是对排序没有影响的，所以可以直接按照第二个字母进行基数排序，同样，对于首字母不同的后缀，由于按照首字母排序时，他们的相对大小已经确定，当按照第二个字母排序时，不会出现 `原来 a>b，现在 b>a` 的现象，所以我们可以看成一直在做区域内的排序，这之后变成这样：

对于每一组首字母相同的后缀，首字母是对排序没有影响的，所以可以直接按照第二个字母进行基数排序，同样，对于首字母不同的后缀，由于按照首字母排序时，他们的相对大小已经确定，当按照第二个字母排序时，不会出现 “原来 a>b，现在 b>a” 的现象，所以我们可以看成一直在做区域内的排序，这之后变成这样：

![](images/sa3.png)

第三字母同理……

这样子我们可以处理这个问题，可是复杂度还是没有到达一个我们可以接受的范围

所以我们引入**倍增**

这样子我们可以处理这个问题，可是复杂度还是没有到达一个我们可以接受的范围，所以我们引入**倍增**。

当我们按照每个后缀的前 $2^k$ 个字母进行完排序后，那么我们把后缀的前 $2^{k+1}$ 看做前后两个 $2^k$ , 这样我们就可以把这前后两个 $2^k$ 作为之前说的 `首字母` 和 `第二个字母` 了，然后进行上述过程，就可以在 $O(nlogn)$ 的复杂度内处理这个问题了

当我们按照每个后缀的前 $2^k$ 个字母进行完排序后，那么我们把后缀的前 $2^{k+1}$ 看做前后两个 $2^k$ , 这样我们就可以把这前后两个 $2^k$ 作为之前说的首字母和第二个字母了，然后进行上述过程，就可以在 $O(nlogn)$ 的复杂度内处理这个问题了。

```cpp

#include <bits/stdc++.h>

}

```

代码里 $x[i]$ 就是 $rank[i]$ 

代码里 $x[i]$ 就是 $rank[i]$。

 $y[i]$ ：假设 $y[i]=a\ ,\  y[i+1]=b$ 那么在原串中 从 $a+2^k$ 开始的 $2^k$ 个字符组成的子串**小于等于**从 $b+2^k$ 开始的 $2^k$ 个字符组成的子串

 $y[i]$：假设 $y[i]=a\ ,\  y[i+1]=b$ 那么在原串中从 $a+2^k$ 开始的 $2^k$ 个字符组成的子串**小于等于**从 $b+2^k$ 开始的 $2^k$ 个字符组成的子串。

最好理解这个代码时，每一步都结合这基数排序来考虑

最好理解这个代码时，每一步都结合这基数排序来考虑。

### DC3