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### Dinic

**Dinic 算法** 的过程是这样的：每次增广前，我们先用 BFS 来将图分层。设源点的层数为 0，那么一个点的层数便是它离源点的最近距离。

**Dinic 算法** 的过程是这样的：每次增广前，我们先用 BFS 来将图分层。设源点的层数为 $0$，那么一个点的层数便是它离源点的最近距离。

通过分层，我们可以干两件事情：

接下来是 DFS 找增广路的过程。

我们每次找增广路的时候，都只找比当前点层数多 1 的点进行增广（这样就可以确保我们找到的增广路是最短的）。

我们每次找增广路的时候，都只找比当前点层数多 $1$ 的点进行增广（这样就可以确保我们找到的增广路是最短的）。

Dinic 算法有两个优化：

&\forall (u,v)\in E,&f(u,v)=\left\{\begin{split}

&c(u,v)&,u=s\\

&0&,u\neq s\\

\end{split}\right..

\end{split}\right.

\\

&\forall u\in V,&h(u)=\left\{\begin{split}

&|V|&,u=s\\

&0&,u\neq s\\

\end{split}\right.

,e(u)=\sum_{(x,u)\in E}f(x,u)-\sum_{(u,y)\in E}f(u,y).

\end{split}.

,e(u)=\sum_{(x,u)\in E}f(x,u)-\sum_{(u,y)\in E}f(u,y)

\end{split}

$$

上述将 $(s,v)\in E$ 充满流，并将 $h(s)$ 抬高，使得 $(s,v)\notin E_f$，因为 $h(s)>h(v)$，而且 $(s,v)$ 毕竟满流，没必要留在残存网络中；上述还将 $e(s)$ 初始化为 $\sum_{(s,v)\in E}f(s,v)$ 的相反数。

### HLPP 算法

最高标号预流推进算法（High Level Preflow Push）是基于推送 - 重贴标签算法的优先队列实现，该算法优先推送高度高的溢出的结点，算法算法复杂度 $O(n^2\sqrt m)$.=。

最高标号预流推进算法（High Level Preflow Push）是基于推送 - 重贴标签算法的优先队列实现，该算法优先推送高度高的溢出的结点，算法算法复杂度 $O(n^2\sqrt m)$。

具体地说，HLPP 维护以下过程：