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## 网络

网络是指一个有向图 $G=(V,E)$

网络是指一个有向图 $G=(V,E)$。

每条边 $(u,v)\in E$ 都有一个权值 $c(u,v)$，称之为容量（Capacity），当 $(u,v)\notin E$ 时有 $c(u,v)=0$.

每条边 $(u,v)\in E$ 都有一个权值 $c(u,v)$，称之为容量（Capacity），当 $(u,v)\notin E$ 时有 $c(u,v)=0$。

其中有两个特殊的点：源点 $s\in V$ 和汇点 $t\in V,(s\neq t)$.

其中有两个特殊的点：源点 $s\in V$ 和汇点 $t\in V,(s\neq t)$。

## 流

2. **斜对称性**：$f(u,v)=-f(v,u)$

3. **流守恒性**：$\forall x\in V-\{s,t\},\sum_{(u,x)\in E}f(u,x)=\sum_{(x,v)\in E}f(x,v)$

那么 $f$ 称为网络 $G$ 的流函数

那么 $f$ 称为网络 $G$ 的流函数。

对于 $(u,v)\in E$，$f(u,v)$ 称为边的**流量**，$c(u,v)-f(u,v)$ 称为边的**剩余容量**

对于 $(u,v)\in E$，$f(u,v)$ 称为边的**流量**，$c(u,v)-f(u,v)$ 称为边的**剩余容量**。

整个网络的流量为 $\sum_{(s,v)\in E}f(s,v)$，即**从源点发出的所有流量之和**

整个网络的流量为 $\sum_{(s,v)\in E}f(s,v)$，即**从源点发出的所有流量之和**。

*注*：流函数的完整定义为

$$

f(u,v)=\left\{\begin{split}

&f(u,v)&,(u,v)\in E\\

## FF增广路算法

该方法通过寻找增广路来更新最大流

有 EK,dinic,SAP,ISAP 主流算法

该方法通过寻找增广路来更新最大流，有 EK,dinic,SAP,ISAP 主流算法。

求解最大流之前，我们先认识以下增广路的概念。

所以我们这张图的最大流就应该是 $20+30=50$ 。

求最大流是很简单的，接下来讲解求最大流的 $3$ 种方法。

求最大流是很简单的，接下来讲解求最大流的 3 种方法。

### Edmond-Karp 动能算法（ $EK$ 算法）

### Edmond-Karp 动能算法（EK 算法）

这个算法很简单，就是 BFS **找增广路** ，然后对其进行 **增广** 。你可能会问，怎么找？怎么增广？

该方法在求解过程中忽略流守恒性，并每次对一个结点更新信息，以求解最大流

有 $HLPP$ 的主流算法

有 HLPP 的主流算法

推送 - 重贴标签算法通过对单个结点的更新操作，直到没有结点需要更新来求解最大流

算法过程维护的流函数不一定保持流守恒性，对于一个结点，我们允许进入结点的流超过流出结点的流，超过的部分被称为结点 $u(u\in V-\{s,t\})$ 的**超额流**$e(u)$：

$$

e(u)=\sum_{(x,u)\in E}f(x,u)-\sum_{(u,y)\in E}f(u,y)

$$

若 $e(u)>0$，称结点 $u$**溢出**.

推送 - 重贴标签算法维护每个结点的高度 $h(u)$，并且规定溢出的结点 $u$ 如果要推送超额流，只能向高度小于 $u$ 的结点推送；如果 $u$ 没有相邻的高度小于 $u$ 的结点，就修改 $u$ 的高度（重贴标签）.

推送 - 重贴标签算法维护每个结点的高度 $h(u)$，并且规定溢出的结点 $u$ 如果要推送超额流，只能向高度小于 $u$ 的结点推送；如果 $u$ 没有相邻的高度小于 $u$ 的结点，就修改 $u$ 的高度（重贴标签）。

#### 高度函数

准确地说，推送 - 重贴标签维护以下的一个映射 $h:V\to \mathbb{N}$：

准确地说，推送 - 重贴标签维护以下的一个映射 $h:V\to \mathbf{N}$：

- $h(s)=|V|,h(t)=0$

- $\forall (u,v)\in E_f,h(u)\leq h(v)+1$.

- $\forall (u,v)\in E_f,h(u)\leq h(v)+1$

则称 $h$ 是残存网络 $G_f=(V_f,E_f)$ 的高度函数。

#### 推送 -Push

适用条件：结点 $u$ 溢出，且存在结点 $v((u,v)\in V_f,c(u,v)-f(u,v)>0,h(u)=h(v)+1)$，则 push 操作适用于 $(u,v)$.

适用条件：结点 $u$ 溢出，且存在结点 $v((u,v)\in V_f,c(u,v)-f(u,v)>0,h(u)=h(v)+1)$，则 push 操作适用于 $(u,v)$。

于是，我们尽可能将超额流从 $u$ 推送到 $v$，推送过程中我们只关心超额流和 $c(u,v)-f(u,v)$ 的最小值，不关心 $v$ 是否溢出。

如果 $(u,v)$ 在推送完之后满流，将其从残存网络中删除

如果 $(u,v)$ 在推送完之后满流，将其从残存网络中删除。

#### 重贴标签 -Relabel

适用条件：如果结点 $u$ 溢出，且 $\forall (u,v)\in E_f,h(u)\leq h(v)$，则 relabel 操作适用于 $u$.

适用条件：如果结点 $u$ 溢出，且 $\forall (u,v)\in E_f,h(u)\leq h(v)$，则 relabel 操作适用于 $u$。

则将 $h(u)$ 更新为 $min_{(u,v)\in E_f}h(v)+1$ 即可。

![p3](https://hexo-source-1257756441.cos.ap-chengdu.myqcloud.com/2018/12/21/2150.png)

可以发现，最后的超额流一部分回到了 $s$，且除了源点汇点，其他结点都没有溢出；这时的流函数 $f$ 满足流守恒性，为最大流，即 $e(t)$.

可以发现，最后的超额流一部分回到了 $s$，且除了源点汇点，其他结点都没有溢出；这时的流函数 $f$ 满足流守恒性，为最大流，即 $e(t)$。

#### 核心代码

### HLPP 算法

最高标号预流推进算法（High Level Preflow Push）是基于推送 - 重贴标签算法的优先队列实现，该算法优先推送高度高的溢出的结点，算法算法复杂度 $O(n^2\sqrt m)$.

最高标号预流推进算法（High Level Preflow Push）是基于推送 - 重贴标签算法的优先队列实现，该算法优先推送高度高的溢出的结点，算法算法复杂度 $O(n^2\sqrt m)$.=。

具体地说，HLPP 维护以下过程：

1. 初始化（基于推送 - 重贴标签算法）

1. 初始化（基于推送 - 重贴标签算法）；

2. 选择溢出结点（除 $s,t$）中高度最高的结点 $u$，并对它所有可以推送的边进行推送；

3. 如果 $u$ 仍溢出，对它重贴标签，回到 2.

4. 如果没有溢出的结点，算法结束

3. 如果 $u$ 仍溢出，对它重贴标签，回到 2；

4. 如果没有溢出的结点，算法结束。

#### BFS 优化

HLPP 的上界为 $O(n^2\sqrt m)$，但在使用时卡得比较紧；我们可以在初始化高度的时候进行优化

HLPP 的上界为 $O(n^2\sqrt m)$，但在使用时卡得比较紧；我们可以在初始化高度的时候进行优化：

具体来说，我们初始化 $h(u)$ 为 $u$ 到 $t$ 的最短距离；特别地，$h(s)=n$.

具体来说，我们初始化 $h(u)$ 为 $u$ 到 $t$ 的最短距离；特别地，$h(s)=n$。

在 BFS 的同时我们顺便检查图的联通性，排除无解的情况

在 BFS 的同时我们顺便检查图的联通性，排除无解的情况。

#### GAP 优化

HLPP 推送的条件是 $h(u)=h(v)+1$，而如果在算法的某一时刻，$h(u)=t$ 的结点个数为 0，那么对于 $h(u)>t$ 的结点就永远无法推送超额流到 $t$，因此只能送回 $s$，那么我们就在这时直接让他们的高度变成 $n+1$，以尽快推送回 $s$，减少重贴标签的操作

HLPP 推送的条件是 $h(u)=h(v)+1$，而如果在算法的某一时刻，$h(u)=t$ 的结点个数为 $0$，那么对于 $h(u)>t$ 的结点就永远无法推送超额流到 $t$，因此只能送回 $s$，那么我们就在这时直接让他们的高度变成 $n+1$，以尽快推送回 $s$，减少重贴标签的操作。

#### [LuoguP4722] 【模板】最大流 加强版 / 预流推进

![HLPP](https://hexo-source-1257756441.cos.ap-chengdu.myqcloud.com/2018/12/22/1152.png)

其中 $pic13$ 到 $pic14$ 执行了 $Relabel(4)$，并进行了 GAP 优化

其中 pic13 到 pic14 执行了 Relabel(4)，并进行了 GAP 优化