Loading docs/graph/flow.md +16 −17 Original line number Diff line number Diff line 网络流在 OI 中是显得尤为重要的。在《算法导论》中就用了 35 页来讲述网络流的知识，在这里，给大家介绍网络流的一些基础知识。 网络流在 OI 中是显得尤为重要的。在《算法导论》中就用了 35 页来讲述网络流的知识，在这里，给大家介绍网络流中的一些基本知识。 ## 最大流 先认识一下 $S$ ($source$) 和 $T$ ($sink$) 的概念。$S$ 就是常说的源点，$T$ 就是汇点（也就是起点和终点，这个跟最短路的概念是一样的）。我们有一张图，要求从源点流向汇点的最大流量（可以有很多条路到达汇点），就是我们的最大流问题。 求解最大流问题有三种常见算法：Edmonds-Karp 算法，Dinic 算法，ISAP 算法。 ## 网络流的基本概念 ## 最小费用最大流 容量：网络中的每条有向边$(x,y)$都有一个给定的权值，称为边的容量，记为$c(x,y)$。 最小费用最大流问题是这样的：每条边都有一个费用，代表单位流量流过这条边的开销。我们要在求出最大流的同时，要求花费的费用最小。 源点、汇点：网络中的两个特殊节点。流量从源点产生，最后全部归于汇点。源点用$S$表示，汇点用$T$表示。 最小费用最大流解法：最简单的就是 EK+SPFA，也推荐用 zkw 费用流和原始对偶匹配算法。 流量：对于网络中的每条边$(x,y)$，$f(x,y)$被称为该边的流量。流量需要满足以下三条性质： 1. 容量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量，即$f(x,y) \leq c(x,y)$。 2. 斜对称性：每条边的流量与其相反边的流量之和为0，即$f(x,y)=f(y,x)$。 3. 流量守恒：从源点流出的流量等于汇点流入的流量。 ## 最小割 ## 网络流的常见问题 割其实就是删边的意思，当然最小割就是割掉 $X$ 条边来让 $S$ 跟 $T$ 不互通。我们要求 $X$ 条边加起来的流量综合最小。这就是最小割问题。 网络流问题中常见的有以下三种：最大流，最小割，费用流。 其中我们要认识一个定理: **最小割**=**最大流** ## 最大流 ### 建模 我们有一张图，要求从源点流向汇点的最大流量（可以有很多条路到达汇点），就是我们的最大流问题。 在会了最大流和费用流后，建模显得尤为重要。就像 ZJOI 的 [狼与羊的故事](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2598)，就是一个例子。 ## 最小费用最大流 **前期**遇到这种题目，暴搜？神奇 BFS？错误。我们首先要考虑一下会不会有**二分图匹配**，**最小割**的模型（一般不会有普通的最大流）。然后建立（超级）源点和（超级）汇点。什么意思？就是当很多个源点和很多个汇点的时候，我们就可以用超级源点和超级汇点代替「源点」和「汇点」的位置（也就是把超级源点连向各个源点，超级汇点连向各个汇点，方向按题意来定）。 最小费用最大流问题是这样的：每条边都有一个费用，代表单位流量流过这条边的开销。我们要在求出最大流的同时，要求花费的费用最小。 这是最常见的建模的方法之一，也是做二分图匹配的方法。还有很多建模方法，可以参考 [网络流建模基础](https://www.cnblogs.com/victorique/p/8560656.html)。 ## 最小割 来一道题练练手: [沙耶的玩偶](https://www.luogu.org/paste/z3085b8l)。 割其实就是删边的意思，当然最小割就是割掉 $X$ 条边来让 $S$ 跟 $T$ 不互通。我们要求 $X$ 条边加起来的流量综合最小。这就是最小割问题。 Loading
docs/graph/flow.md +16 −17 Original line number Diff line number Diff line 网络流在 OI 中是显得尤为重要的。在《算法导论》中就用了 35 页来讲述网络流的知识，在这里，给大家介绍网络流的一些基础知识。 网络流在 OI 中是显得尤为重要的。在《算法导论》中就用了 35 页来讲述网络流的知识，在这里，给大家介绍网络流中的一些基本知识。 ## 最大流 先认识一下 $S$ ($source$) 和 $T$ ($sink$) 的概念。$S$ 就是常说的源点，$T$ 就是汇点（也就是起点和终点，这个跟最短路的概念是一样的）。我们有一张图，要求从源点流向汇点的最大流量（可以有很多条路到达汇点），就是我们的最大流问题。 求解最大流问题有三种常见算法：Edmonds-Karp 算法，Dinic 算法，ISAP 算法。 ## 网络流的基本概念 ## 最小费用最大流 容量：网络中的每条有向边$(x,y)$都有一个给定的权值，称为边的容量，记为$c(x,y)$。 最小费用最大流问题是这样的：每条边都有一个费用，代表单位流量流过这条边的开销。我们要在求出最大流的同时，要求花费的费用最小。 源点、汇点：网络中的两个特殊节点。流量从源点产生，最后全部归于汇点。源点用$S$表示，汇点用$T$表示。 最小费用最大流解法：最简单的就是 EK+SPFA，也推荐用 zkw 费用流和原始对偶匹配算法。 流量：对于网络中的每条边$(x,y)$，$f(x,y)$被称为该边的流量。流量需要满足以下三条性质： 1. 容量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量，即$f(x,y) \leq c(x,y)$。 2. 斜对称性：每条边的流量与其相反边的流量之和为0，即$f(x,y)=f(y,x)$。 3. 流量守恒：从源点流出的流量等于汇点流入的流量。 ## 最小割 ## 网络流的常见问题 割其实就是删边的意思，当然最小割就是割掉 $X$ 条边来让 $S$ 跟 $T$ 不互通。我们要求 $X$ 条边加起来的流量综合最小。这就是最小割问题。 网络流问题中常见的有以下三种：最大流，最小割，费用流。 其中我们要认识一个定理: **最小割**=**最大流** ## 最大流 ### 建模 我们有一张图，要求从源点流向汇点的最大流量（可以有很多条路到达汇点），就是我们的最大流问题。 在会了最大流和费用流后，建模显得尤为重要。就像 ZJOI 的 [狼与羊的故事](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2598)，就是一个例子。 ## 最小费用最大流 **前期**遇到这种题目，暴搜？神奇 BFS？错误。我们首先要考虑一下会不会有**二分图匹配**，**最小割**的模型（一般不会有普通的最大流）。然后建立（超级）源点和（超级）汇点。什么意思？就是当很多个源点和很多个汇点的时候，我们就可以用超级源点和超级汇点代替「源点」和「汇点」的位置（也就是把超级源点连向各个源点，超级汇点连向各个汇点，方向按题意来定）。 最小费用最大流问题是这样的：每条边都有一个费用，代表单位流量流过这条边的开销。我们要在求出最大流的同时，要求花费的费用最小。 这是最常见的建模的方法之一，也是做二分图匹配的方法。还有很多建模方法，可以参考 [网络流建模基础](https://www.cnblogs.com/victorique/p/8560656.html)。 ## 最小割 来一道题练练手: [沙耶的玩偶](https://www.luogu.org/paste/z3085b8l)。 割其实就是删边的意思，当然最小割就是割掉 $X$ 条边来让 $S$ 跟 $T$ 不互通。我们要求 $X$ 条边加起来的流量综合最小。这就是最小割问题。
