fix: fix miller-rabin

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### Miller-Rabbin

### Miller-Rabin 素性测试

Miller-Rabbin 算法是进阶的素数判定方法，具有比暴力做法更好的时间复杂度。但是代码复杂度较高，在比赛中使用较少。

Miller-Rabin 素性测试（Miller–Rabin primality test）是进阶的素数判定方法，具有比暴力做法更好的时间复杂度。但是代码复杂度较高，在比赛中使用较少。

它的基本思想是不断地选取不超过 $n-1$ 的基 $b$，并检验是否每次都有 $b^{n-1} \equiv 1 \pmod n$

#### Fermat 素性测试

我们可以根据 [费马小定理](/math/fermat/#_1) 得出一种检验素数的思路：

它的基本思想是不断地选取在 $[2, n-1]$ 中的基 $a$，并检验是否每次都有 $a^{n-1} \equiv 1 \pmod n$

```c++

bool millerRabbin(int n) {

bool millerRabin(int n) {

  for (int i = 1; i <= s; ++i) {

    int a = rand() % (n - 2) + 2;

    if (quickPow(a, n - 1, n) != 1) return 0;

}

```

很遗憾，费马小定理的逆定理并不成立，换言之，满足了 $a^{n-1} \equiv 1 \pmod n$ ，$n$ 也不一定是素数。

#### 卡迈克尔数

上面的做法中随机地选择 $a$，很大程度地降低了犯错的概率。但是仍有一类数，上面的做法并不能准确地判断。

对于合数 $n$，如果对于所有正整数 $a$，$a$ 和 $n$ 互素，都有同余式 $a^{n-1} \equiv 1 \pmod n$ 成立，则合数 $n$ 为卡迈克尔数（Carmichael Number），又称为费马伪素数。

比如，$341 = 11 \times 31$ 就是一个卡迈克尔数。

而且我们知道，若 $n$ 为卡迈克尔数，则 $m=2^{n}-1$ 也是一个卡迈克尔数，从而卡迈克尔数的个数是无穷的。

#### 二次探测定理

如果 $p$ 是奇素数，则 $x^2 \equiv 1 \bmod p$ 的解为 $x = 1$ 或者 $x = p - 1 (\bmod p)$;

### 实现

根据卡迈克尔数的性质，可知其一定不是 $p^e$。

不妨将费马小定理和二次探测定理结合起来使用：

将 $n−1$ 分解为 $n−1=u \times 2^t$，不断地对 $u$ 进行平方操作，若发现非平凡平方根时即可判断出其不是素数。

比较正确的 Miller Rabin：（来自 fjzzq2002）

```c++

bool millerRabbin(int n) {

  int a=n-1,b=0;

  while(a%2==0) a/=2,++b;

  for (int i=1,j;i<=s;++i) {

    int x=rand()%(n-2)+2,v=quickPow(x,a,n);

    if(v==1||v==n-1) continue;

    for(j=1;j<b;++j) {

      v=(long long)v*v%n;

      if(v==n-1) break;

    }

    if(j>=b) return 0;

  }

  return 1;

}

```

### 参考

http://www.matrix67.com/blog/archives/234

https://blog.bill.moe/miller-rabin-notes/

## 反素数

### 定义

### 常见题型

#### 给定因子数，求满足因子数恰好等于这个数的最小数

#### 求因子数一定的最小数

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/27/E

}

```

#### 给定一个 n，求 n 以内因子数最多的数

#### 求 n 以内因子数最多的数

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=1562