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## 简介

随机增量算法是计算几何的一个重要算法，它对理论知识要求不高，算法时间复杂度低，应用范围广大。

增量法 (Incremental Algorithm) 的思想与第一数学归纳法类似，它的本质是将一个问题化为规模刚好小一层的子问题。解决子问题后加入当前的对象。写成递归式是：

$$

T(n)=T(n-1)+g(n)

$$

增量法形式简洁，可以应用于许多的几何题目中。

增量法往往结合随机化，可以避免最坏情况的出现。

## 最小圆覆盖问题

### 题意描述

在一个平面上有 $n$ 个点，求一个半径最小的圆，能覆盖所有的点。

### 算法

假设圆 $O$ 是前 $i-1$ 个点得最小覆盖圆，加入第 $i$ 个点，如果在圆内或边上则什么也不做。否，新得到的最小覆盖圆肯定经过第 $i$ 个点。

然后以第 $i$ 个点为基础（半径为 $0$），重复以上过程依次加入第 $j$ 个点，若第 $j$ 个点在圆外，则最小覆盖圆必经过第 $j$ 个点。

重复以上步骤。（因为最多需要三个点来确定这个最小覆盖圆，所以重复三次）

遍历完所有点之后，所得到的圆就是覆盖所有点得最小圆。

**时间复杂度** $O(n)$

**空间复杂度** $O(n)$

### 代码

```cpp

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cstdlib>

#include<cstdio>

#include<cmath>

using namespace std;

int n;

double r;

struct point {

	double x,y;

} p[100005],o;

inline double sqr(double x) {

	return x*x;

}

inline double dis(point a,point b) {

	return sqrt(sqr(a.x-b.x)+sqr(a.y-b.y));

}

inline bool cmp(double a,double b) {

	return fabs(a-b)<1e-8;

}

point geto(point a,point b,point c) {

	double a1,a2,b1,b2,c1,c2;

	point ans;

	a1=2*(b.x-a.x),b1=2*(b.y-a.y),c1=sqr(b.x)-sqr(a.x)+sqr(b.y)-sqr(a.y);

	a2=2*(c.x-a.x),b2=2*(c.y-a.y),c2=sqr(c.x)-sqr(a.x)+sqr(c.y)-sqr(a.y);

	if(cmp(a1,0)) {

		ans.y=c1/b1;

		ans.x=(c2-ans.y*b2)/a2;

	} else if(cmp(b1,0)) {

		ans.x=c1/a1;

		ans.y=(c2-ans.x*a2)/b2;

	} else {

		ans.x=(c2*b1-c1*b2)/(a2*b1-a1*b2);

		ans.y=(c2*a1-c1*a2)/(b2*a1-b1*a2);

	}

	return ans;

}

int main() {

	scanf("%d",&n);

	for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);

	for(int i=1; i<=n; i++) swap(p[rand()%n+1],p[rand()%n+1]);

	o=p[1];

	for(int i=1; i<=n; i++) {

		if(dis(o,p[i])<r||cmp(dis(o,p[i]),r)) continue;

		o.x=(p[i].x+p[1].x)/2;

		o.y=(p[i].y+p[1].y)/2;

		r=dis(p[i],p[1])/2;

		for(int j=2; j<i; j++) {

			if(dis(o,p[j])<r||cmp(dis(o,p[j]),r)) continue;

			o.x=(p[i].x+p[j].x)/2;

			o.y=(p[i].y+p[j].y)/2;

			r=dis(p[i],p[j])/2;

			for(int k=1; k<j; k++) {

				if(dis(o,p[k])<r||cmp(dis(o,p[k]),r)) continue;

				o=geto(p[i],p[j],p[k]);

				r=dis(o,p[i]);

			}

		}

	}

	printf("%.10lf\n%.10lf %.10lf",r,o.x,o.y);

	return 0;

}

```

## 练习

[BZOJ 1337 \[最小圆覆盖\]](http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1337)

[BZOJ 2732 \[HNOI2012 射箭\]](http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2732)

## 参考资料

http://www.doc88.com/p-007257893177.html

https://www.cnblogs.com/aininot260/p/9635757.html

https://wenku.baidu.com/view/162699d63186bceb19e8bbe6.html

    - 旋转卡壳: geometry/rotating-calipers.md

    - 半平面交: geometry/half-plane-intersection.md

    - 平面最近点对: geometry/nearest-points.md

    - 随机增量法: geometry/random-incremental.md

    - 计算几何杂项: geometry/magic.md

  - 杂项:

    - 杂项简介: misc/index.md

      - 随机函数: misc/random.md

      - 爬山算法: misc/hill-climbing.md

      - 模拟退火: misc/simulated-annealing.md

      - 随机增量法: misc/random-incremental.md

    - 悬线法: misc/largest-matrix.md

    - 计算理论基础: misc/cc-basic.md

    - 字节顺序: misc/endianness.md