feat: 增加高维前缀和

-   [CodeVS 1373. 射命丸文](http://codevs.cn/problem/1373/)

### 基于 DP 计算高维前缀和

前一节方法本质上是基于容斥原理来计算高维前缀和，其优点在于形式较为简单，无需特别记忆，但当维数升高时，其复杂度较高。这里介绍一种基于 DP 计算高维前缀和的方法。该方法即通常语境中所称的**高维前缀和**。

设高维空间 $U$ 共有 $D$ 维，需要对 $f[\cdot]$ 求高维前缀和 $\text{sum}[\cdot]$。令 $\text{sum}[i][\text{state}]$ 表示同 $\text{state}$ 后 $D - i$ 维相同的所有点对于 $\text{state}$ 点高维前缀和的贡献。由定义可知 $\text{sum}[0][\text{state}] = f[\text{state}]$，以及 $\text{sum}[\text{state}] = \text{sum}[D][\text{state}]$。

其递推关系为 $\text{sum}[i][\text{state}] = \text{sum}[i - 1][\text{state}] + \text{sum}[i][\text{state}']$，其中 $\text{state}'$ 为第 $i$ 维恰好比 $\text{state}$ 少 $1$ 的点。该方法的复杂度为 $O(D \times |U|)$，其中 $|U|$ 为高维空间 $U$ 的大小。

其一种实现的伪代码如下：

```

for state

	sum[state] = f[state];

for(i = 0;i <= D;i += 1)

	for 以字典序从小到大枚举 state

		sum[state] += sum[state'];

```

## 树上前缀和

设 $sum_i$ 表示结点 $i$ 到根节点的权值总和。