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### Whitney 定理

对任意的图 $G$ ，有 $\kappa \leq \lambda \leq \delta$ 。其中 $\kappa, \lambda, \delta$ 分别为 $G$ 的点连通度，边连通度和最小度。

 $f(G,k)$ 表示 $G$ 的不同 $k$ 着色方式的总数。

$$f(K_n, k) = k(k-1)\cdots(k-n+1)$$

 $f(K_n, k) = k(k-1)\cdots(k-n+1)$ 

$$f(N_n, k) = k^n$$

 $f(N_n, k) = k^n$ 

在无向五环图 $G$ 中，

定理：设 $V_1$ 是 $G$ 的点割集，且 $G[V_1]$ 是 $G$ 的 $|V_1|$ 阶完全子图， $G-V_1$ 有 $p(p \geq 2)$ 个连通分支，则：

$$f(G,k)=\frac{\Pi_{i=1}^{p}{(f(H_i, k))}}{f(G[V_1], k)^{p-1}}$$

 $f(G,k)=\frac{\Pi_{i=1}^{p}{(f(H_i, k))}}{f(G[V_1], k)^{p-1}}$ 

其中 $H_i=G[V_1 \cup V(G_i)]$ 

设 $S = \{a_1, a_2, \cdots, a_m\}$ ，构造 $D=<V, E>$ ，如下：

$$V = \{a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}} |a_i \in S, 1 \leq i \leq n - 1 \}$$

 $V = \{a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}} |a_i \in S, 1 \leq i \leq n - 1 \}$ 

$$E = \{a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}|a_j \in S, 1 \leq j \leq n\}$$

 $E = \{a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}|a_j \in S, 1 \leq j \leq n\}$ 

规定 $D$ 中顶点与边的关联关系如下：

强连通的竞赛图为哈密顿图。

若 $D$ 含 $n(n \geq 2)$ 阶强连通的竞赛图作为子图，则 $D$ 具有哈密顿回路。

??? note

    到目前为止，求图中的极小（最小）支配集、极小（最小）点覆盖、极大（最大）独立集和极大（最大）团还没有找到有效的多项式时间算法。