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位运算就是把整数转换为二进制后，每位进行相应的运算得到结果。

常用的运算符共 6 种，

分别为与（`&`）、或（`|`）、异或（`^`）、取反（`~`）、左移（`<<`） 和右移（`>>`）。

常用的运算符共 6 种，分别为与（`&`）、或（`|`）、异或（`^`）、取反（`~`）、左移（`<<`） 和右移（`>>`）。

## 与、或、异或

表示把两个整数分别转换为二进制后各位逐一比较。

<table><tr>

<td style="text-align:center;">`&`</td><td>只有在两个（对应位数中）都为 1 时才为 1。</td>

    <td style="text-align:center;"><code>&</code></td><td>只有在两个（对应位数中）都为 1 时才为 1。</td>

</tr><tr>

<td style="text-align:center;">`|`</td><td>只要在两个（对应位数中）有一个 1 时就为 1。</td>

    <td style="text-align:center;"><code>|</code></td><td>只要在两个（对应位数中）有一个 1 时就为 1。</td>

</tr><tr>

<td style="text-align:center;">`^`</td><td>只有两个（对应位数）不同时才为 1。</td>

    <td style="text-align:center;"><code>^</code></td><td>只有两个（对应位数）不同时才为 1。</td>

</tr></table>

* `^` 运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即 `(a ^ b) ^ b = a`。

> 举例：

`^` 运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即 `(a ^ b) ^ b = a`。

$$

\begin{aligned}

&5&=&&(101)_2\\

&6&=&&(110)_2\\

&5\tt\,\&\,6\rm&=&&(100)_2&=\ 4\\

&5\tt\,|\,\rm6&=&&(111)_2&=\ 7\\

&5\tt\,\text{^}\,\rm6&=&&(011)_2&=\ 3\\

\end{aligned}

$$

> 举例：

>

> $$

> \begin{aligned}

> &5&=&&(101)_2\\

> &6&=&&(110)_2\\

> &5\tt\,\&\,6\rm&=&&(100)_2&=\ 4\\

> &5\tt\,|\,\rm6&=&&(111)_2&=\ 7\\

> &5\tt\,\text{^}\,\rm6&=&&(011)_2&=\ 3\\

> \end{aligned}

> $$

#### 取反

取反是对 1 个数 num 进行的计算。

取反是对 1 个数 $num$ 进行的计算。

`~`  把 num 的补码中的 0 和 1 全部取反（ 0 变为 1，1 变为 0）。

`~` 把 $num$ 的补码中的 0 和 1 全部取反 （0 变为 1，1 变为 0）。

- 补码——正数的补码为其（二进制）本身，负数的补码是其（二进制）取反后加一。

补码——正数的补码为其（二进制）本身，负数的补码是其（二进制）取反后 $+1$。

> 举例：

$$

\begin{aligned}

5=(0000\ 0101)_2\\

5\ 的补码=(1111\ 1010)_2\\

\tt\ \text{~}\rm5=(1111\ 1010)_2

\end{aligned}

$$

>

> $$

> \begin{aligned}

> 5=(0000\ 0101)_2\\

> 5\ \text{的补码} =(1111\ 1010)_2\\

> \tt\ \text{~}\rm5=(1111\ 1010)_2

> \end{aligned}

> $$

## 左移和右移

左移（`<<`） 将转化为二进制后的数字整体向左移动。

> `num<<i`  // 表示将 num 转换为二进制后向左移动 i 位（所得的值）

> `num << i`  // 表示将 $num$ 转换为二进制后向左移动 $i$ 位（所得的值）

右移（`>>`） 将转化为二进制后的数字整体向右移动。

> `num>>i`  // 表示将 num 转换为二进制后向左移动 i 位（所得的值）

> `num >> i`  // 表示将 $num$ 转换为二进制后向左移动 $i$ 位（所得的值）

>

> 举例：

>

> $$

> \begin{aligned}

> &5&&=&&(101)_2\\

> &5\tt\,<<\,\rm2&&=&&(10100)_2\!\!\!&=&&\!\!\!20\\

> &5\tt>>\rm1&&=&&(10)_2&=&&2

> \end{aligned}

> $$

$$

\begin{aligned}

&5&&=&&(101)_2\\

&5\tt\,<<\,\rm2&&=&&(10100)_2\!\!\!&=&&\!\!\!20\\

&5\tt>>\rm1&&=&&(10)_2&=&&2

\end{aligned}

$$

- 如上图，右移操作中末尾多余的 “1” 将会被舍弃。

如上图，右移操作中末尾多余的 “1” 将会被舍弃。

- 注意，左移和右移是有返回值的，并非对 num 本身进行操作。

注意，左移和右移是有返回值的，并非对 $num$ 本身进行操作。

* * *

## 位运算的应用

> num<<i 相当于 num 乘以 2 的 i 次方，而 num>>i 相当于 num/2 的 i 次方。 (位运算比 "%" 和 "/" 操作快得多)

> (据 2018JSOI 夏令营课件，效率可以提高 60%)

> `num << i` 相当于 $num$ 乘以 2 的 $i$ 次方，而 `num >> i` 相当于 $num$ 整除 2 的 $i$ 次方。 (位运算比 `%` 和 `/` 操作快得多)

> (据 2018JSOI 夏令营，效率可以提高 60%)

>

> num\*10=(num<<1)+(num<<3)

> `num * 10 = (num<<1) + (num<<3)`

>

> `num&1`相当于取 num 二进制的最末位，可用于判断 num 的奇偶性，二进制的最末位为 0 表示该数为偶数，最末位为 1 表示该数为奇数。

> `num & 1` 相当于取 $num$ 二进制的最末位，可用于判断 $num$ 的奇偶性，二进制的最末位为 0 表示该数为偶数，最末位为 1 表示该数为奇数。

>

> ```cpp

> //利用位运算的快捷的 swap 代码

## 位运算的常用方法

- 乘以 2 运算

-   乘以 2 运算。

    ```cpp

    int mulTwo(int n) { // 计算n*2

    }

    ```

- 除以 2 运算

-   除以 2 运算。

    ```cpp

    int divTwo(int n) { // 负奇数的运算不可用

    }

    ```

- 乘以 2 的 $m$ 次方

-   乘以 2 的 $m$ 次方。

    ```cpp

    int mulTwoPower(int n, int m) { // 计算n*(2^m)

    }

    ```

- 除以 2 的 $m$ 次方

-   除以 2 的 $m$ 次方。

    ```cpp

    int divTwoPower(int n, int m) { // 计算n/(2^m)

    }

    ```

- 判断一个数的奇偶性

-   判断一个数的奇偶性。

    ```cpp

    boolean isOddNumber(int n) {

    }

    ```

- 取绝对值（某些机器上，效率比 `n>0 ? n:-n` 高）

-   取绝对值（某些机器上，效率比 `n > 0 ? n : -n` 高）。

    ```cpp

    int abs(int n) {

    }

    ```

- 取两个数的最大值（某些机器上，效率比 `a>b ? a:b` 高）

-   取两个数的最大值（某些机器上，效率比 `a > b ? a : b` 高）。

    ```cpp

    int max(int a, int b) {

    }

    ```

- 取两个数的最小值（某些机器上，效率比 `a>b ? b:a` 高）

-   取两个数的最小值（某些机器上，效率比 `a > b ? b : a` 高）。

    ```cpp

    int min(int a, int b) {

    }

    ```

- 判断符号是否相同

-   判断符号是否相同。

    ```cpp

    boolean isSameSign(int x, int y) { // 有0的情况例外

    return (x ^ y) >= 0; // true 表示 x和y有相同的符号， false表示x，y有相反的符号。

      return (x ^ y) >= 0; // true 表示x和y有相同的符号，false 表示x,y有相反的符号。

    }

    ```

- 计算 2 的 $n$ 次方

-   计算 2 的 $n$ 次方。

    ```cpp

    int getFactorialofTwo(int n) { // n > 0

    }

    ```

- 判断一个数是不是 2 的幂

-   判断一个数是不是 2 的幂。

    ```cpp

    boolean isFactorialofTwo(int n) {

    }

    ```

- 对 2 的 $n$ 次方取余

-   对 2 的 $n$ 次方取余。

    ```cpp

    int quyu(int m, int n) { //n为2的次方

    }

    ```

- 求两个整数的平均值

-   求两个整数的平均值。

    ```cpp

    int getAverage(int x, int y) {

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