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在学习最小直径生成树(Minimum Diameter Spanning Tree)前建议先阅读[树的直径](./tree-diameter.md)的内容。

在无向图的所有生成树中，直径最小的那一棵生成树就是最小直径生成树。

## 图的绝对中心

求解直径最小生成树，首先需要找到 **图的绝对中心** ，**图的绝对中心**可以存在于一条边上或某个结点上，该中心到所有点的最短距离的最大值最小。

根据**图的绝对中心**的定义可以知道，到绝对中心距离最远的结点至少有两个。

令`d[i][j]`为顶点$i,j$间的最短路径长，通过多源最短路算法求出所有结点的最短路。

`rk[i][j]`记录点$i$到其他所有结点中第$j$小的那个结点。

图的绝对中心可能在某条边上，枚举每一条边$w=(u,v)$，并且假设图的绝对中心$c$就在这条边上。那么距离$u$的长度为$x$($x \leq w$)，距离$v$的长度就是$w - x$。

对于图中的任意一点$i$，图的绝对中心$c$到$i$的距离为$d(c,i)=\min(d(u,i) + x, d(v,i) + (w - x))$。

举例一个结点$i$，该结点与图的绝对中心的位置关系如下图。

![mdst1](./images/mdst-1.png)

随着图的绝对中心$c$在边上的改变会生成一个距离与$c$位置的函数图像。显然的，当前的$d(c,i)$的函数图像是一个两条斜率相同的线段构成的折线段。

![mdst2](./images/mdst-2.png)

对于图上的任意一结点，图的绝对中心到最远距离结点的函数就写作$f = max\{ d(c,i)\},i \in[1,n]$，其函数图像如下。

![mdst3](./images/mdst-3.png)

并且这些折线交点中的最低点，横坐标就是图的绝对中心的位置。

图的绝对中心可能在某个结点上，用距离预选结点最远的那个结点来更新，即$\textit{ans}\leftarrow \min(\textit{ans},d(i,\textit{rk}(i,1))\times 2)$。

### 算法流程

1. 使用多源最短路算法(Floyd，Johnson等)，求出$d$数组；

2. 求出`rk[i][j]`，并将其升序排序；

3. 图的绝对中心可能在某个结点上，用距离预选结点最远的那个结点来更新，遍历所有结点并用$\textit{ans}\leftarrow \min(\textit{ans},d(i,\textit{rk}(i,1)) \times 2)$更新最小值。

4. 图的绝对中心可能在某条边上，枚举所有的边。对于一条边$w(u,j)$从距离$u$最远的结点开始更新。当出现$d(v,rk(u,i)) > d(v,rk(u,i-1))$的情况时，用$ans\leftarrow  \min(ans, d(v,rk(u,i))+d(v,rk(u,i-1))+w(i,j))$来更新。因为这种情况会使图的绝对中心改变。

??? note "参考实现"

    ```cpp

    bool cmp(int a, int b)

    {

        return val[a] < val[b];

    }

    void Floyd()

    {

        for (int k = 1; k <= n; k ++)

            for (int i = 1; i <= n; i ++)

                for (int j = 1; j <= n; j ++)

                    d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);

    }

    void solve()

    {

        Floyd();

        for (int i = 1; i <= n; i ++)

        {

            for (int j = 1; j <= n; j ++) 

            {

                rk[i][j] = j;

                val[j] = d[i][j];

            }

            sort(rk[i] + 1, rk[i] + 1 + n, cmp);

        }

        int ans = INF;

        // 图的绝对中心可能在结点上

        for (int i = 1; i <= n; i ++) ans = min(ans, d[i][rk[i][n]] * 2);

        // 图的绝对中心可能在边上

        for (int i = 1; i <= m; i ++)

        {

            int u = a[i].u, v = a[i].v, w = a[i].w;

            for (int p = n, i = n - 1; i >= 1; i --)

            {

                if (d[v][rk[u][i]] > d[v][rk[u][p]])

                {

                    ans = min(ans, d[u][rk[u][i]] + d[v][rk[u][p]] + w);

                    p = i;

                }

            }

        }

    }

    ```

### 例题

-  [CodeForce 266D BerDonalds](https://codeforces.ml/contest/266/problem/D)

## 最小直径生成树

根据图的绝对中心的定义，容易得知图的绝对中心是最小直径生成树的直径的中点。

求解最小直径生成树首先需要找到图的绝对中心。以图的绝对中心为起点，生成一个最短路径树，那么就可以得到最小直径生成树了。

### 例题

[SPOJ MDST](https://www.spoj.com/problems/MDST/)

[timus 1569. Networking the “Iset”](https://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1569)

[SPOJ PT07C - The GbAaY Kingdom](https://www.luogu.com.cn/problem/SP1479)

## 参考文献

[Play with Trees

Solutions The GbAaY Kingdom](https://adn.botao.hu/adn-backup/blog/attachments/month_0705/32007531153238.pdf)

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    - 最小生成树: graph/mst.md

    - 斯坦纳树: graph/steiner-tree.md

    - 最小树形图: graph/dmst.md

    - 最小直径生成树: graph/mdst.md

    - 最短路: graph/shortest-path.md

    - 拆点: graph/node.md

    - 差分约束: graph/diff-constraints.md