Merge pull request #1898 from WAAutoMaton/master

到这里我们会发现，前面的几个操作都十分偷懒，几乎完全没有对数据结构进行维护，所以删除最小值是配对堆最重要的（也是最复杂）的一个操作。  

考虑我们拿掉根节点之后会发生什么，根节点原来的所有儿子构成了一片森林，所以我们要把他们合并起来。  

一个很自然的想法是使用 `merge` 函数把儿子们一个一个并在一起，这样做的话正确性是显然的，但是会导致复杂度退化到 $O(n)$ 。为了保证删除操作的均摊复杂度为 $O(\log n)$ ，我们需要：把儿子们两两配成一对，先用 `merge` 操作把被配成同一对的两个儿子合并到一起（见下图 1)，再按上述方法将新产生的堆暴力合并在一起（见下图 2）。![](./images/pairingheap4.jpg)![](./images/pairingheap5.jpg)

一个很自然的想法是使用 `merge` 函数把儿子们一个一个并在一起，这样做的话正确性是显然的，但是会导致复杂度退化到 $O(n)$ 。为了保证删除操作的均摊复杂度为 $O(\log n)$ ，我们需要：把儿子们 **从左往右** 两两配成一对，用 `merge` 操作把被配成同一对的两个儿子合并到一起（见下图 1)，再将新产生的堆 **从右往左** 暴力合并在一起（见下图 2）。![](./images/pairingheap4.jpg)![](./images/pairingheap5.jpg)

先实现一个辅助函数 `merges` ，作用是合并一个节点的所有兄弟。

##### 递归版本的 merges（推荐）

实现上，推荐使用这种好写的递归式实现。

```cpp

Node* merges(Node* x) {

  if (x == node || x->xd == node)

2.   `merges(b)` 递归合并 b 和他的兄弟们。

3.  将上面 2 个操作产生的 2 个新树合并。

##### 迭代版本的 merges

迭代版本不仅不好写，而且实现不优越的话还不一定比递归版快（下面这个就是不优越的实现，跑的不比上面的递归版本快），所以更推荐写递归版。

```cpp

Node* merges(Node* x) {

  Node* t = x;

  x = x->xd;

  t->xd = node;

  while (x->xd != node) {

    Node *a = x->xd, *b = a->xd;

    x->xd = a->xd = node;

    t = merge(t, merge(x, a));

    x = b;

  }

  return merge(t, x);

}

```

需要注意到的是，上文提到了配对方向和合并方向是有要求的（从左往右配对，从右往左合并），该递归函数的实现已保证了这个顺序，如果读者需要自行实现迭代版本的话请务必注意保证该顺序，否则复杂度将失去保证。

然后 `delete-min` 操作就显然了。（因为这个封装实在没啥用，实际在实现时中一般不显式写出这个函数）

有了 `merges` 函数， `delete-min` 操作就显然了。（因为这个封装实在没啥用，实际在实现时中一般不显式写出这个函数）

```cpp

Node* delete_min(Node* x) { return merges(x->ch); }