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H_n = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n-1}

$$

    f[n] = f[0] * f[n - 1] + f[1] * f[n - 2] + ... + f[n - 1] * f[0]

具体实例[https://www.luogu.org/problem/P1044]（洛谷 P1044 栈）

??? note " 例题[洛谷 P1044 栈](https://www.luogu.org/problem/P1044)"

    题目大意：入栈顺序为 $1,2,\ldots ,n$ ，求所有可能的出栈顺序的总数。

```cpp

#include <iostream>

using namespace std;

int n;

long long f[25];

int main(){

    f[0] = 1;

    cin >> n;

    cout << f[n] << endl;

    return 0;

}

```

## 路径计数问题

非降路径是指只能向上或向右走的路径。

1.  从 $(0,0)$ 到 $(m,n)$ 的非降路径数等于 m 个 x 和 n 个 y 的排列数，即 ${n + m \choose m}$ 。

1.  从 $(0,0)$ 到 $(m,n)$ 的非降路径数等于 $m$ 个 $x$ 和 $n$ 个 $y$ 的排列数，即 ${n + m \choose m}$ 。

2.  从 $(0,0)$ 到 $(n,n)$ 的除端点外不接触直线 $y=x$ 的非降路径数：