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例一：利用消元法求解二元一次线性方程组：

$\left\{\begin{aligned}

$$

\left\{\begin{aligned}

4x+y&=100 \notag \\

x-y&=100 \notag

\end{aligned}\right.$

\end{aligned}\right.

$$

解：将方程组中两方程相加，消元 $y$ 可得：

#### 第 2 步  还原线性方程组

$\left\{\begin{aligned}

$$

\left\{\begin{aligned}

x_1+0.5x_4 &= 14.5 \notag\\

x_3+x_4 &= -4 \notag \\

\end{aligned}\right.$

\end{aligned}\right.

$$

解释

#### 第 3 步  求解第一个变量

$\left\{\begin{aligned}

$$

\left\{\begin{aligned}

x_1 &= -0.5x_4+14.5\notag \\

x_3 &= -x_4-4\notag

\end{aligned}\right.$

\end{aligned}\right.

$$

解释

#### 第 4 步  补充自由未知量

$\left\{\begin{aligned}

$$

\left\{\begin{aligned}

x_1 &= -0.5x_4+14.5 \notag \\

x_2 &= x_2 \notag \\

x_3 &= -x_4-4 \notag \\

x_4 &= x_4 \notag

\end{aligned}\right.$

\end{aligned}\right.

$$

解释

#### 第 5 步  列表示方程组的通解

$\begin{aligned}

$$

\begin{aligned}

\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} &=

\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} x_2+

\begin{pmatrix} -0.5 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} x_4 +

&= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} C_1+

\begin{pmatrix} -0.5 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} C_2 +

\begin{pmatrix} 14.5 \\ 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \notag

\end{aligned}$

\end{aligned}

$$

其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数。

例如：

$\begin{vmatrix}

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 \\

0 & 1 \end{vmatrix} = 1$

0 & 1 \end{vmatrix} = 1

$$

$\begin{vmatrix}

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 \\

2 & 1 \end{vmatrix} = -3$

2 & 1 \end{vmatrix} = -3

$$

行列式有公式

$D = \left| A \right| = \sum(-1)^va_{1,l_1}a_{2,l_2}\dots a_{n,l_n}$

$$

D = \left| A \right| = \sum(-1)^va_{1,l_1}a_{2,l_2}\dots a_{n,l_n}

$$

> 其中 $v$ 为 $l_1$, $l_2$,\\cdots, $l_n$ 中逆序对的个数。

					mat[j][k] -= mat[i][k] * ratio;

				}

			}

			//print();

		}

		for (int i=0; i<n; i++)

			ans *= mat[i][i];

		return abs(ans);

	}

};

int main()

{

	srand(1);