bi-graph

#### 匹配

给定一个二分图$G$，若在$G$的子图$M$中，任意两条边都没有公共节点，那么称$M$为二分图$G$的一个匹配，且M的边数为匹配数。

设$G$为二分图，若在$G$的子图$M$中，任意两条边都没有公共节点，那么称$M$为二分图$G$的一个匹配，且$M$的边数为匹配数。

#### 最大匹配

#### 完备匹配

设$G=<V_1, V_2, E>$为二分图，$|V_1| \leq |V_2|$，$M$为$G$中一个最大匹配，且$|M|=2|V_1|$，则称$M$为$V_1$到$V_2$的完备匹配。

#### 霍尔定理

设二部图 $G=<V_1, V_2, E>, |V_1| \leq |V_2|$ ，则 $G$ 中存在 $V_1$ 到 $V_2$ 的完备匹配当且仅当对于任意的 $S \subset V_1$ ，均有 $|S|\leq|N(S)|$ ，其中 $N(S)=\Cup_{v_i \in S}{N(V_i)}$ ，是 $S$ 的邻域。

#### 最大匹配问题

寻找二分图边数最大的匹配称为最大匹配问题。

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除此之外，该问题还可以转化为[最大流](graph/flow/max-flow)问题解决。

设$G=<V_1, V_2, E>$是一个二分图，不妨在图中添加源点$s$和汇点$t$，从$s$向$V_1$中的所有节点连一条流量为1的边，$V_2$中的所有节点也向$t$连一条流量为1的边，并且将$V_1$和$V_2$之间的边改成从$V_1$指向$V_2$，流量为1的边，此时该图的最大流量即为最大匹配数，流量流过的边和点构成的子图即为$G$的最大匹配。

若使用Dinic算法，则时间复杂度为$O(N /sqrt{M+N})$。

例题参考：

[洛谷 P3386 【模板】二分图匹配](https://www.luogu.com.cn/problem/P3386)

#### 最大权匹配

#### 最大权匹配问题

#### 霍尔定理

设$G$为带边权的二分图，寻找$G$边权和最大的匹配称为最大权匹配问题。

设二部图 $G=<V_1, V_2, E>, |V_1| \leq |V_2|$ ，则 $G$ 中存在 $V_1$ 到 $V_2$ 的完备匹配当且仅当对于任意的 $S \subset V_1$ ，均有 $|S|\leq|N(S)|$ ，其中 $N(S)=\Cup_{v_i \in S}{N(V_i)}$ ，是 $S$ 的邻域。

该问题可以转化为[费用流](graph/flow/min-cost)问题解决。

设$G=<V_1, V_2, E>$是一个带边权的二分图，不妨在图中添加源点$s$和汇点$t$，从$s$向$V_1$中的所有节点连一条流量为1，费用为0的边，从$V_1$和$V_2$的所有节点向$t$连一条流量为1，费用为0的边，并且将$V_1$和$V_2$之间的边改成从$V_1$指向$V_2$，流量为1，费用为边权的边，此时该图的最大费最大流的费用即为最大权匹配的边权和，流量流过的边和点构成的子图(删去新添加的点和边后)即为$G$的最大权匹配。

## 一般图匹配