feat(graph): merge index, basic, misc into concept and save, add new index

## 图是怎么存的？

### 直接存边

什么意思呢？我们开一个数组，数组里每个元素是图的一条边。

这样做有个缺点，每次想要知道两个点之间是否有连边（或者说一条边是否存在），都需要在数组里进行一番查找。而且如果没有对边事先排序的话，就不能使用二分查找的方法（ $O(\log n)$ ），而是每次只能按顺序找（ $O(n)$ ），成本较高。

什么时候会用到这个方法呢？最简单的一个例子是使用 Kruskal 算法求 [最小生成树](/graph/mst) 的时候。

### 邻接矩阵

邻接矩阵的英文名是 adjacency matrix。它的形式是 `bool adj[n][n]` ，这里面 $n$ 是节点个数， $adj[i][j]$ 表示 $i$ 和 $j$ 之间是否有边。

如果边有权值，也可以直接用 `int adj[n][n]` ，直接把边权存进去。

它的优点是可以在 $O(1)$ 时间内得到一条边是否存在，缺点是需要占用 $O(n^2)$ 的空间。对于一个稀疏的图（边相对于点数的平方比较少）来说，用邻接矩阵来存的话，成本偏高。

### 邻接表

邻接表英文名是 adjacency list。它的形式是 `vector adj[n]` ，用 `adj[i]` 存以 $i$ 为起点的边。

用 `vector` 无法科学地删除，所以常用 `list` 实现。

它的特点是可以用来按顺序访问一个结点的出边（或者入边）。

### 前向星

为什么它搜不到英文名呢？因为是中国玩家乱搞出来的。

首先介绍一下链式前向星，本质上是用单向链表实现的邻接表。

形式上是一个结构体： `struct edge {edge *pre, int to;} *head[N], edge[M]` 

这个结构广泛出现于算法竞赛选手的代码中，编写简洁而且对于大多数题目效率足够高。

其中 `head[i]` 用来存以 $i$ 为起点的边， `edge` 数组是边表。

那么什么是前向星呢？事先把 `edge` 数组排个序即可。这里可以使用 [基数排序](/basic/radix-sort) 做到 $O(m)$ 。

## 图的基本概念

### 路径

path，是指一个边的序列，其中的边首尾相连。

### 简单路径

simple path，是每条边只经过了一次的路径。

### 回路

cycle，也称为 `环` ，是起点和终点相同的路径。

### 简单回路

图的定点序列中，除了起点和终点相同外，其余顶点不重复的回路。

### 可达

有向图中点 $u$ 到 $v$ 可达是指存在一条 $u$ 到 $v$ 的路径。

### 连通

#### 两个点连通

图中点 $u$ 和 $v$ 连通是指两点互相可达。

#### 图连通

如果无向图 $G$ 中任意两个节点连通，称其为是连通的。

###  [强连通](/graph/scc) 

有向图 $G$ 强连通是指， $G$ 中任意两个节点连通。

###  [弱连通](/graph/bcc) 

有向图 $G$ 弱连通是指， $G$ 中的所有边替换为无向边后， $G$ 为连通图。

### 点连通度

一张图的点连通度的大小等于最小点割集的大小。

### 边连通度

一张图的边连通度的大小等于最小边割集的大小。

### 点割集

设图 $G = <V, E>$ ，若存在 $V' \subset V$ 且 $V' \neq \emptyset$ ，使得 $p(G-V') > p(G)$ ，而对于任意的 $V'' \subset V'$ ，均有 $p(G-V'')=p(G)$ ，则称 $V'$ 是 $G$ 的点割集。特别地，若 $V'$ 是 $G$ 的点割集，且 $V'$ 是单元集，即 $V'=\{v\}$ ，则称 $v$ 为 [割点](./bridge.md) 。

（ $p(G)$ 表示图 G 的连通分支（连通块）的个数）

### 边割集

设图 $G = <V, E>$ ，若存在 $E' \subset E$ 且 $E' \neq \emptyset$ ，使得 $ps(G-E') > p(G)$ ，而对于任意的 $E'' \subset E'$ ，均有 $p(G-E'')=p(G)$ ，则称 $E'$ 是 $G$ 的边割集（或简称为割集）。特别地，若 $E'$ 是 $G$ 的边割集，且 $E'$ 是单元集，即 $E'=\{e\}$ ，则称 $e$ 为 [桥](./bridge.md) 。

（ $p(G)$ 表示图 G 的连通分支（连通块）的个数）

### 子图

选取一个节点的子集和边的子集构成的图。

#### 生成子图

选取的子图的节点和原图一样。

#### 导出子图

选取一个节点的子集，再选取这些节点相关联的边的集合构成的图。

#### 边导出子图

选取一个边的子集，再选取这些边相关联的节点的集合，构成的图。

#### 连通子图

（一个无向图的）连通的子图。

#### 连通分量

（一个无向图的）极大的连通子图。

【注】：极大是指添加任何节点或者边后都不再满足。

### 稀疏图

 $m = \Theta(n)$ 的图，或者指 $m$ 相对较小的图。

### 稠密图

 $m = \Theta(n^2)$ 的图，或者指 $m$ 相对较大的图。

### 完全图

设 $D$ 为 $n (n \geq 1)$ 阶无向简单图，弱 $G$ 中每个顶点均与其余的 $n-1$ 个顶点相邻，则称 $D$ 为 $n$ 阶无向完全图。

无向完全图的点数和边数满足这样的关系： $m = \frac{n(n-1)}{2}$ 。

设 $D$ 为 $n (n \geq 1)$ 阶有向简单图，若对于任意的 $v_i, v_j \in V(D)(v_i \neq v_j)$ ，有向边 $<v_i, v_j>$ 和 $<v_j, v_i>$ 均属于 $E(D)$ ，则称 $D$ 为 $n$ 阶有向完全图。

### 竞赛图

设 $D$ 为 $n (n \geq 1)$ 阶有向简单图，若对于任意的 $v_i, v_j \in V(D)(v_i \neq v_j)$ ，有向边 $<v_i, v_j>$ 和 $<v_j, v_i>$ 中有且仅有一个属于 $E(D)$ ，则称 $D$ 为 $n$ 阶竞赛图。

### 正则图

各顶点的度均相同的无向简单图。

### 路径的长度

一般来说，路径的长度在数值上等于路径的边数，或者如果边是带权的，则是路径的边权和。

###  [最短路径](/graph/shortest-path) 

两个节点之间，长度最小的路径。

【注】：不一定存在，不一定唯一。

### 图论基本定理

又称握手定理。设 $G=<V, E>$ 为一个无向图， $V= \{v_1, v_2, \cdots, v_n\}, |E| = m$ ，则 $\sum_{i=1}^n{d(v_i)}=2m$ 。其中 $d(v)$ 表示 v 的度数。

### 可图化

如果给定一个序列 a，可以找到一个图 G，以其为度数列，则称 a 是可图化的。

如果给定一个序列 a，可以找到一个简单图 G，以其为度数列，则称 a 是可简单图化的。

#### 判别法

 $a=(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ 可图化当且仅当 $\sum_{i=1}^n{d_i} = 0 \pmod 2$ 

 $a=(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ 可简单图化当且仅当 $a'=(a_2 - 1, a_3 - 1, \cdots, a_{a_1+1} - 1, a_{a_1+2} - 1, \cdots, a_n)$ 是可简单图化的。

### Whitney 定理

对任意的图 $G$ ，有 $\kappa \leq \lambda \leq \delta$ 。其中 $\kappa, \lambda, \delta$ 分别为 $G$ 的点连通度，边连通度和最小度。

## 简介

在阅读下列内容之前，请务必了解 [图论基础](./basic.md) 部分。

在阅读下列内容之前，请务必了解 [图论相关概念](./concept.md) 部分。

相关阅读： [割点和桥](./bridge.md) 

相关阅读： [割点和桥](./cut.md) 

## 定义

割点和桥更严谨的定义参见 [图论基础](./basic.md) 。

割点和桥更严谨的定义参见 [图论相关概念](./concept.md) 。

在一张连通的无向图中，对于两个点 $u$ 和 $v$ ，如果无论删去哪条边（只能删去一条）都不能使它们不连通，我们就说 $u$ 和 $v$  **边双连通** 。

点双连通 **不** 具有传递性，反例如下图， $A,B$ 点双连通， $B,C$ 点双连通，而 $A,C$  **不** 点双连通。

![bcc-counterexample.png](images/bcc-0.svg)

![bcc-counterexample.png](./images/bcc-0.svg)

## DFS

首先，对原图进行 DFS。

![bcc-1.png](images/bcc-1.svg)

![bcc-1.png](./images/bcc-1.svg)

如上图所示，黑色与绿色边为树边，红色边为非树边。每一条非树边连接的两个点都对应了树上的一条简单路径，我们说这条非树边 **覆盖** 了这条树上路径上所有的边。绿色的树边 **至少** 被一条非树边覆盖，黑色的树边不被 **任何** 非树边覆盖。

## DFS 找割点并判断点双连通

![bcc-2.png](images/bcc-2.svg)

![bcc-2.png](./images/bcc-2.svg)

如上图所示，黑色边为树边，红色边为非树边。每一条非树边连接的两个点都对应了树上的一条简单路径。

author: Ir1d, sshwy, GavinZhengOI, Planet6174, ouuan, TrisolarisHD, ylxmf2005

相关阅读： [双连通分量](./bcc.md) ，

割点和桥更严谨的定义参见 [图论基础](./basic.md) 。

割点和桥更严谨的定义参见 [图论相关概念](./concept.md) 。

## 割点

首先，我们上一个图：

![](images/bridge1.png)

![](./images/bridge1.png)

很容易的看出割点是 2，而且这个图仅有这一个割点。

首先，我们按照 DFS 序给他打上时间戳（访问的顺序）。

![](images/bridge2.png)

![](./images/bridge2.png)

这些信息被我们保存在一个叫做 `num` 的数组中。

另外，如果搜到了自己（在环中），如果他有两个及以上的儿子，那么他一定是割点了，如果只有一个儿子，那么把它删掉，不会有任何的影响。比如下面这个图，此处形成了一个环，从树上来讲它有 2 个儿子：

![](images/bridge3.png)

![](./images/bridge3.png)

我们在访问 1 的儿子时候，假设先 DFS 到了 2，然后标记用过，然后递归往下，来到了 4，4 又来到了 3，当递归回溯的时候，会发现 3 已经被访问过了，所以不是割点。

## 割边

和割点差不多，还叫做割桥。

和割点差不多，叫做桥。

> 对于一个无向图，如果删掉一条边后图中的连通分量数增加了，则称这条边为桥或者割边。

 **图论（graph theory）** 是数学的一个分支，它以 **图** 为研究的对象。

图论本身是应用数学的一部分，历史上图论曾经被很多数学家各自独立建立过。关于图论的最早文字记载最早出现在欧拉 1736 年的论著中，也就是著名的柯尼斯堡（Konigsberg）问题（七桥问题）。

## 图的定义

一个图 $G$ 是一个二元组，即序偶 $\langle V,E\rangle$ ，或记作 $G= \langle V,E\rangle$ ，其中 $V$ 是有限非空集合，称为 $G$ 的顶点集， $V$ 中的元素称为顶点或结点； $E$ 称为 $G$ 的边的集合， $\forall e_i \in E$ ，都有 $V$ 中的结点与之对应，称 $e_i$ 为 $G$ 的边。

简单来说，就是图 $G$ 就是一个结点的集合 $V$ 和边的集合 $E$ ，其中任意一条边都可以表示为两个结点之间的关系。若 $e_i\in E$ 表示为 $\langle u,v\rangle$ ，则有 $u\in V , v\in V$ 。

## 有向边和无向边

以上定义的结点对 **可以是有序的，也可以是无序的** 。如果边 $e_i$ 和结点无序对 $(u,v)$ 相对应，则称 $e_i$ 为无向边，记作 $e_i=(u,v)$ ，称 $u,v$ 为边 $e_i$ 的两个端点。

如果边 $e_i$ 和结点有序对 $\langle u,v\rangle$ 相对应，则称 $e_i$ 为有向边，记为 $e_i= \langle u,v\rangle$ ，称 $u$ 为边 $e_i$ 的 **始点** ， $v$ 为该边的终点。

简单来说，如果边对结点的关系是双向的，那么这条边是无向边；如果是单向的，那么这条边是有向边。

## 图的基本概念

无向图：每条边都是无向边的图。

有向图：每条边都是有向边的图。

混合图：在一个图中，有些边是有向边，另一些边是无向边，则该图为混合图。

有限图：一个图的点集和边集都是有穷集的图。

零图：边集为空集的图。

平凡图：仅有一个结点而没有边构成的图。

关联：若有 $e_i=(u,v)$ 且 $e_i\in E$ ，则称 $u$ 是和 $v$ 相关联的。

孤立点：无边关联的点。

自环：若一条边所关联的两个结点重合，则称此边为自环。

邻接：关联于同一条边的两个点 $u$ 和 $v$ 称为邻接的；关联于同一个点的两条边 $e_1$ 和 $e_2$ 是邻接的（或相邻的）。

## 结点的度数

设图 $G= \langle V,E\rangle$ 为一个有向图， $v\in V$ ，关联于结点 $v$ 的 **边** 的条数，称为点 $v$ 的度数，记作 $\deg(v)$ 。

注意：一个自环为它的端点增加 2 度。

当图 $G= \langle V,E\rangle$ 为一个有向图， $v\in V$ ，称以 $v$ 作为始点的边数之和称为结点 $v$ 的出度，记为 $\deg^{+} (v)$ 。将以 $v$ 作为终点的边数之和称为结点 $v$ 的入度，记为 $\deg^{-} (v)$ 。称以 $v$ 作为端点的边数之和为结点 $v$ 的度数或度，记为 $\deg(v)$ 。

显然， $\forall v\in V,\deg(v)=deg^{+} (v)+\deg^{-} (v)$ 。

### 定理 1

 $\sum_{v\in V} \deg(v)=2\times |E|$ 

推论：在任意图中，度数为奇数的点必然有偶数个。

### 定理 2

 $\sum_{v\in V} \deg^{+} (v)=\sum_{v\in V} \deg^{-} (v)=|E|$ 

即所有点入度之和等于出度之和。

## 子图的概念

设有图 $G= \langle V,E\rangle$ 和图 $G'= \langle V',E'\rangle$ 。

如果 $V'\subseteq V,E'\subseteq E$ ，则称 $G'$ 是 $G$ 的子图，记作 $G'\subseteq G$ 。

如果 $G'\subsetneqq G$ ，即 $V'\subset V$ 或 $E'\subset E$ ，则称 $G'$ 是 $G$ 的真子图，记作 $G'\subset G$ 。

如果 $V'=V,E'\subseteq E$ ，则称 $G'$ 是 $G$ 的生成子图。

如果 $V''\subseteq V$ 且 $V'' \neq \varnothing$ ，以 $V''$ 为结点集，以两端点均在 $V''$ 中的边为边集的 $G$ 的子图，称为 $V''$ 导出的 $G$ 的子图，简称为 $V''$ 的导出子图。

如果 $G''= \langle V'',E''\rangle$ 使得 $E''=E-E'$ ，且 $V''$ 中仅包含 $E''$ 中的边所关联的结点，则称 $G''$ 是子图 $G'$ 相对于原图 $G$ 的补图。

## 特殊的图

树：边数比结点数少一的连通图。更多内容，详见 [树相关基础](./tree-basic.md) 。

森林：由 $m$ 棵（ $m\ge 0$ ）互不相交的树组成的图。

基环树：边数和点数相等的连通图。

仙人掌：每条边至多属于一个简单环的无向连通图。

在无向图中，关联一对顶点的边多于 $1$ 条，则称这些边为重边（平行边），重边的条数称为重数。

简单图：不含重边和自环的图。

多重图：含重边的图。

完全图：每对不同的顶点之间都恰连有一条边相连的简单无向图。容易证明， $n$ 个顶点的完全图有 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 条边。

竞赛图：通过在完全图中为每条边分配方向而获得的有向图。

 **图论 (Graph theory)** 是数学的一个分支，图是图论的主要研究对象。 **图 (Graph)** 是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系。顶点用于代表事物，连接两顶点的边则用于表示两个事物间具有这种关系。

## 参考资料

离散数学（修订版），田文成 周禄新 编著，天津文学出版社，P184-187

 <https://zh.wikipedia.org/wiki/图论>