Loading docs/graph/mst.md +41 −43 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -17,34 +17,8 @@ Kruskal 算法是一种常见并且好写的最小生成树算法，由 Kruskal [并查集](../ds/dsu.md) 、 [贪心](../basic/greedy.md) 、 [图的存储](./save.md) 。 ### 证明 思路很简单，为了造出一棵最小生成树，我们从最小边权的边开始，按边权从小到大依次加入，如果某次加边产生了环，就扔掉这条边，直到加入了 $n-1$ 条边，即形成了一棵树。 证明：使用归纳法，证明任何时候 K 算法选择的边集都被某棵 MST 所包含。 基础：对于算法刚开始时，显然成立（最小生成树存在）。 归纳：假设某时刻成立，当前边集为 $F$ ，令 $T$ 为这棵 MST，考虑下一条加入的边 $e$ 。 如果 $e$ 属于 $T$ ，那么成立。 否则， $T+e$ 一定存在一个环，考虑这个环上不属于 $F$ 的另一条边 $f$ （一定只有一条）。 首先， $f$ 的权值一定不会比 $e$ 小，不然 $f$ 会在 $e$ 之前被选取。 然后， $f$ 的权值一定不会比 $e$ 大，不然 $T+e-f$ 就是一棵比 $T$ 还优的生成树了。 所以， $T+e-f$ 包含了 $F$ ，并且也是一棵最小生成树，归纳成立。 ### 实现 算法虽简单，但需要相应的数据结构来支持…… 具体来说，维护一个森林，查询两个结点是否在同一棵树中，连接两棵树。 抽象一点地说，维护一堆 **集合** ，查询两个元素是否属于同一集合，合并两个集合。 伪代码： $$ Loading @@ -63,39 +37,37 @@ $$ \end{array} $$ 其中，查询两点是否连通和连接两点可以使用并查集维护。 算法虽简单，但需要相应的数据结构来支持……具体来说，维护一个森林，查询两个结点是否在同一棵树中，连接两棵树。 如果使用 $O(m\log m)$ 的排序算法，并且使用 $O(m\alpha(m, n))$ 或 $O(m\log n)$ 的并查集，就可以得到时间复杂度为 $O(m\log m)$ 的 Kruskal 算法。 抽象一点地说，维护一堆 **集合** ，查询两个元素是否属于同一集合，合并两个集合。 ## Prim 算法 其中，查询两点是否连通和连接两点可以使用并查集维护。 Prim 算法是另一种常见并且好写的最小生成树算法。该算法的基本思想是从一个结点开始，不断加点（而不是 Kruskal 算法的加边）。 如果使用 $O(m\log m)$ 的排序算法，并且使用 $O(m\alpha(m, n))$ 或 $O(m\log n)$ 的并查集，就可以得到时间复杂度为 $O(m\log m)$ 的 Kruskal 算法。 ### 证明 从任意一个结点开始，将结点分成两类：已加入的，未加入的。 每次从未加入的结点中，找一个与已加入的结点之间边权最小值最小的结点。 思路很简单，为了造出一棵最小生成树，我们从最小边权的边开始，按边权从小到大依次加入，如果某次加边产生了环，就扔掉这条边，直到加入了 $n-1$ 条边，即形成了一棵树。 然后将这个结点加入，并连上那条边权最小的边。 证明：使用归纳法，证明任何时候 K 算法选择的边集都被某棵 MST 所包含。 重复 $n-1$ 次即可。 基础：对于算法刚开始时，显然成立（最小生成树存在）。 证明：还是说明在每一步，都存在一棵最小生成树包含已选边集。 归纳：假设某时刻成立，当前边集为 $F$ ，令 $T$ 为这棵 MST，考虑下一条加入的边 $e$ 。 基础：只有一个结点的时候，显然成立。 如果 $e$ 属于 $T$ ，那么成立。 归纳：如果某一步成立，当前边集为 $F$ ，属于 $T$ 这棵 MST，接下来要加入边 $e$ 。 否则， $T+e$ 一定存在一个环，考虑这个环上不属于 $F$ 的另一条边 $f$ （一定只有一条）。 如果 $e$ 属于 $T$ ，那么成立。 首先， $f$ 的权值一定不会比 $e$ 小，不然 $f$ 会在 $e$ 之前被选取。 否则考虑 $T+e$ 中环上另一条可以加入当前边集的边 $f$ 。 然后， $f$ 的权值一定不会比 $e$ 大，不然 $T+e-f$ 就是一棵比 $T$ 还优的生成树了。 首先， $f$ 的权值一定不小于 $e$ 的权值，否则就会选择 $f$ 而不是 $e$ 了。 所以， $T+e-f$ 包含了 $F$ ，并且也是一棵最小生成树，归纳成立。 然后， $f$ 的权值一定不大于 $e$ 的权值，否则 $T+e-f$ 就是一棵更小的生成树了。 ## Prim 算法 因此， $e$ 和 $f$ 的权值相等， $T+e-f$ 也是一棵最小生成树，且包含了 $F$ 。 Prim 算法是另一种常见并且好写的最小生成树算法。该算法的基本思想是从一个结点开始，不断加点（而不是 Kruskal 算法的加边）。 ### 实现 Loading Loading @@ -138,6 +110,32 @@ $$ 注意：上述代码只是求出了最小生成树的权值，如果要输出方案还需要记录每个点的 $dis$ 代表的是哪条边。 ### 证明 从任意一个结点开始，将结点分成两类：已加入的，未加入的。 每次从未加入的结点中，找一个与已加入的结点之间边权最小值最小的结点。 然后将这个结点加入，并连上那条边权最小的边。 重复 $n-1$ 次即可。 证明：还是说明在每一步，都存在一棵最小生成树包含已选边集。 基础：只有一个结点的时候，显然成立。 归纳：如果某一步成立，当前边集为 $F$ ，属于 $T$ 这棵 MST，接下来要加入边 $e$ 。 如果 $e$ 属于 $T$ ，那么成立。 否则考虑 $T+e$ 中环上另一条可以加入当前边集的边 $f$ 。 首先， $f$ 的权值一定不小于 $e$ 的权值，否则就会选择 $f$ 而不是 $e$ 了。 然后， $f$ 的权值一定不大于 $e$ 的权值，否则 $T+e-f$ 就是一棵更小的生成树了。 因此， $e$ 和 $f$ 的权值相等， $T+e-f$ 也是一棵最小生成树，且包含了 $F$ 。 ## Boruvka 算法 接下来介绍另一种求解最小生成树的算法——Boruvka 算法。该算法的思想是前两种算法的结合。它可以用于求解 **边权互不相同** 的无向图的最小生成森林。（无向连通图就是最小生成树。） Loading Loading
docs/graph/mst.md +41 −43 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -17,34 +17,8 @@ Kruskal 算法是一种常见并且好写的最小生成树算法，由 Kruskal [并查集](../ds/dsu.md) 、 [贪心](../basic/greedy.md) 、 [图的存储](./save.md) 。 ### 证明 思路很简单，为了造出一棵最小生成树，我们从最小边权的边开始，按边权从小到大依次加入，如果某次加边产生了环，就扔掉这条边，直到加入了 $n-1$ 条边，即形成了一棵树。 证明：使用归纳法，证明任何时候 K 算法选择的边集都被某棵 MST 所包含。 基础：对于算法刚开始时，显然成立（最小生成树存在）。 归纳：假设某时刻成立，当前边集为 $F$ ，令 $T$ 为这棵 MST，考虑下一条加入的边 $e$ 。 如果 $e$ 属于 $T$ ，那么成立。 否则， $T+e$ 一定存在一个环，考虑这个环上不属于 $F$ 的另一条边 $f$ （一定只有一条）。 首先， $f$ 的权值一定不会比 $e$ 小，不然 $f$ 会在 $e$ 之前被选取。 然后， $f$ 的权值一定不会比 $e$ 大，不然 $T+e-f$ 就是一棵比 $T$ 还优的生成树了。 所以， $T+e-f$ 包含了 $F$ ，并且也是一棵最小生成树，归纳成立。 ### 实现 算法虽简单，但需要相应的数据结构来支持…… 具体来说，维护一个森林，查询两个结点是否在同一棵树中，连接两棵树。 抽象一点地说，维护一堆 **集合** ，查询两个元素是否属于同一集合，合并两个集合。 伪代码： $$ Loading @@ -63,39 +37,37 @@ $$ \end{array} $$ 其中，查询两点是否连通和连接两点可以使用并查集维护。 算法虽简单，但需要相应的数据结构来支持……具体来说，维护一个森林，查询两个结点是否在同一棵树中，连接两棵树。 如果使用 $O(m\log m)$ 的排序算法，并且使用 $O(m\alpha(m, n))$ 或 $O(m\log n)$ 的并查集，就可以得到时间复杂度为 $O(m\log m)$ 的 Kruskal 算法。 抽象一点地说，维护一堆 **集合** ，查询两个元素是否属于同一集合，合并两个集合。 ## Prim 算法 其中，查询两点是否连通和连接两点可以使用并查集维护。 Prim 算法是另一种常见并且好写的最小生成树算法。该算法的基本思想是从一个结点开始，不断加点（而不是 Kruskal 算法的加边）。 如果使用 $O(m\log m)$ 的排序算法，并且使用 $O(m\alpha(m, n))$ 或 $O(m\log n)$ 的并查集，就可以得到时间复杂度为 $O(m\log m)$ 的 Kruskal 算法。 ### 证明 从任意一个结点开始，将结点分成两类：已加入的，未加入的。 每次从未加入的结点中，找一个与已加入的结点之间边权最小值最小的结点。 思路很简单，为了造出一棵最小生成树，我们从最小边权的边开始，按边权从小到大依次加入，如果某次加边产生了环，就扔掉这条边，直到加入了 $n-1$ 条边，即形成了一棵树。 然后将这个结点加入，并连上那条边权最小的边。 证明：使用归纳法，证明任何时候 K 算法选择的边集都被某棵 MST 所包含。 重复 $n-1$ 次即可。 基础：对于算法刚开始时，显然成立（最小生成树存在）。 证明：还是说明在每一步，都存在一棵最小生成树包含已选边集。 归纳：假设某时刻成立，当前边集为 $F$ ，令 $T$ 为这棵 MST，考虑下一条加入的边 $e$ 。 基础：只有一个结点的时候，显然成立。 如果 $e$ 属于 $T$ ，那么成立。 归纳：如果某一步成立，当前边集为 $F$ ，属于 $T$ 这棵 MST，接下来要加入边 $e$ 。 否则， $T+e$ 一定存在一个环，考虑这个环上不属于 $F$ 的另一条边 $f$ （一定只有一条）。 如果 $e$ 属于 $T$ ，那么成立。 首先， $f$ 的权值一定不会比 $e$ 小，不然 $f$ 会在 $e$ 之前被选取。 否则考虑 $T+e$ 中环上另一条可以加入当前边集的边 $f$ 。 然后， $f$ 的权值一定不会比 $e$ 大，不然 $T+e-f$ 就是一棵比 $T$ 还优的生成树了。 首先， $f$ 的权值一定不小于 $e$ 的权值，否则就会选择 $f$ 而不是 $e$ 了。 所以， $T+e-f$ 包含了 $F$ ，并且也是一棵最小生成树，归纳成立。 然后， $f$ 的权值一定不大于 $e$ 的权值，否则 $T+e-f$ 就是一棵更小的生成树了。 ## Prim 算法 因此， $e$ 和 $f$ 的权值相等， $T+e-f$ 也是一棵最小生成树，且包含了 $F$ 。 Prim 算法是另一种常见并且好写的最小生成树算法。该算法的基本思想是从一个结点开始，不断加点（而不是 Kruskal 算法的加边）。 ### 实现 Loading Loading @@ -138,6 +110,32 @@ $$ 注意：上述代码只是求出了最小生成树的权值，如果要输出方案还需要记录每个点的 $dis$ 代表的是哪条边。 ### 证明 从任意一个结点开始，将结点分成两类：已加入的，未加入的。 每次从未加入的结点中，找一个与已加入的结点之间边权最小值最小的结点。 然后将这个结点加入，并连上那条边权最小的边。 重复 $n-1$ 次即可。 证明：还是说明在每一步，都存在一棵最小生成树包含已选边集。 基础：只有一个结点的时候，显然成立。 归纳：如果某一步成立，当前边集为 $F$ ，属于 $T$ 这棵 MST，接下来要加入边 $e$ 。 如果 $e$ 属于 $T$ ，那么成立。 否则考虑 $T+e$ 中环上另一条可以加入当前边集的边 $f$ 。 首先， $f$ 的权值一定不小于 $e$ 的权值，否则就会选择 $f$ 而不是 $e$ 了。 然后， $f$ 的权值一定不大于 $e$ 的权值，否则 $T+e-f$ 就是一棵更小的生成树了。 因此， $e$ 和 $f$ 的权值相等， $T+e-f$ 也是一棵最小生成树，且包含了 $F$ 。 ## Boruvka 算法 接下来介绍另一种求解最小生成树的算法——Boruvka 算法。该算法的思想是前两种算法的结合。它可以用于求解 **边权互不相同** 的无向图的最小生成森林。（无向连通图就是最小生成树。） Loading
