Update lct.md

-    `tag[N]` 翻转标记

-    `laz[N]` 权值标记

-    `siz[N]` 辅助树上子树大小

-   Other_Vars

### 函数声明

6.  Cut(x, y) 把 x, y 两点间边删掉。

7.  Find(x) 找到 x 所在的 Splay 的根节点编号。

8.  Fix(x, v) 修改 x 的点权为 v。

9.  Split(x, y) 提取出来 x, y 间的路路径，方便做区间操作。

9.  Split(x, y) 提取出 x, y 间的路径，方便做区间操作。

### 宏定义

```cpp

inline void PushUp(int p) {

  __var1[p] =

      __var1[ls] "operator 1" __var1[rs] "operator 2" __var1[p] / __siz[p];

  // maintain other variables

  siz[p] = siz[ls] + siz[rs];

}

```

```cpp

inline void PushDown(int p) {

  if (__tag1[p] != std_tag1) {

    // do ls & do rs

    __tag1[p] = std_tag1;

  if (tag[p] != std_tag) {

    // pushdown the tag

    tag[p] = std_tag;

  }

}

```

```cpp

// Access 是 LCT

// 的核心操作，试想我们像求解一条路径，而这条路径恰好就是我们当前的一棵 Splay，

// 直接调用其信息即可 先来看一下代码，再结合图来看看过程

// 直接调用其信息即可。先来看一下代码，再结合图来看看过程

inline void Access(int x) {

  for (int p = 0; x; p = x, x = f[x]) {

    Splay(x), ch[x][1] = p, PushUp(x);

![pic2](./images/lct2.png)

-   现在我们要 Access(N), 把 A-N 的路径都变实，拉成一棵 Splay

-   现在我们要 Access(N), 把 A 到 N 路径上的边都变为实边，拉成一棵 Splay

![pic3](./images/lct3.png)

-   实现的方法是从下到上逐步更新 Splay

-   首先我们要把 N 旋至当前 Splay 的根。

-   为了保证 AuxTree 的性质，原来 N——O 的实边要更改为虚边。

-   为了保证 AuxTree（辅助树）的性质，原来 N 到 O 的实边要更改为虚边。

-   由于认父不认子的性质，我们可以单方面的把 N 的儿子改为 Null。

-   于是原来的 Aux 就从下图变成了下下图。

-   于是原来的 AuxTree 就从下图变成了下下图。

![pic4](./images/lct4.png)

-   下一步，我们把 N 指向的 Father-> I 也旋转到它 (I) 的 Splay 树根。

-   原来的实边 I——K 要去掉，这时候我们把 I 的右儿子指向 N, 就得到了 I——L 这样一棵 Splay。

-   原来的实边 I—K 要去掉，这时候我们把 I 的右儿子指向 N, 就得到了 I—L 这样一棵 Splay。

![pic](./images/lct8.png)

###  `makeRoot()` 

-   Make_Root() 的重要性丝毫不亚于 Access()。我们在需要维护路径信息的时候，一定会出现路径深度无法严格递增的情况，根据 Aux 的性质，这种路径是不能出现在一棵 Splay 中的。

-   Make_Root() 的重要性丝毫不亚于 Access()。我们在需要维护路径信息的时候，一定会出现路径深度无法严格递增的情况，根据 AuxTree 的性质，这种路径是不能出现在一棵 Splay 中的。

-   这时候我们需要用到 Make_Root()。

-   Make_Root()。的作用是使指定的点成为原树的根，考虑如何实现这种操作。

-   Make_Root() 的作用是使指定的点成为原树的根，考虑如何实现这种操作。

-   我们发现 Access(x) 后，x 在 Splay 中一定是深度最大的点（从根到 x, 深度严格递增）。

-   而变成根即是变成深度最小的点。我们 Splay(x) , 发现这时候 x 并没有右子树（即所有点深度都比它浅）。那我们把 x 的左右儿子交换一下，变成了 x 没有左子树，在 Aux 意义上就是深度最小的点了，即达到目的。

-   而变成根即是变成深度最小的点。我们 Splay(x) , 发现这时候 x 并没有右子树（即所有点深度都比它浅）。那我们把 x 的左右儿子交换一下，变成了 x 没有左子树，在 AuxTree 意义上就是深度最小的点了，即达到目的。

-   所以我们交换左右儿子，并给右儿子打一个翻转标记即可。（此时左儿子没有值）。

```cpp

###  `Link()` 

-   Link 两个点其实很简单，先 Make_Root(x) , 然后把 x 的父亲指向 y 即可。显然，这个操作肯定不能发生在同一棵树内 OTZ。记得先判一下。

-   Link 两个点其实很简单，先 Make_Root(x) , 然后把 x 的父亲指向 y 即可。显然，这个操作肯定不能发生在同一棵树内，所以记得先判一下。

```cpp

inline void Link(int x, int p) {

###  `Split()` 

-   Split 操作意义很简单，就是拿出一棵 Splay , 维护的是 x 到 y 的路径。

-   先 MakeRoot(x) , 然后 Access(y)。如果要 y 做根，再 Splay(y)。

-   先 MakeRoot(x)，然后 Access(y)。如果要 y 做根，再 Splay(y)。

-   就这三句话，没写代码，需要的时候可以直接打这三个就好辣！

-   另外 Split 这三个操作直接可以把需要的路径拿出到 y 的子树上，那不是随便干嘛咯。

###  `Cut()` 

-   Cut 有两种情况，保证合法和不一定保证合法。（废话）

-   如果保证合法，直接 split(x, y) , 这时候 y 是根，x 一定是它的儿子，双向断开即可 , 就像这样：

-   如果保证合法，直接 split(x, y)，这时候 y 是根，x 一定是它的儿子，双向断开即可。就像这样：

```cpp

inline void Cut(int x, int p) {

}

```

如果是不保证合法，我们需要判断一下是否有，我选择使用 Map 存一下，但是这里有一个利用性质的方法：

如果是不保证合法，我们需要判断一下是否有，我选择使用 map 存一下，但是这里有一个利用性质的方法：

想要删边，必须要满足如下三个条件：

1.  x, y 连通。

2.  x, y 的路径上没有其他的链。

3.  x 没有右儿子。

4.  总结一下，上面三句话的意思就一个：x, y 有边。

4.  总结一下，上面三句话的意思就一个：x, y 之间有边。

具体实现就留作一个思考题给大家。判断连通需要用到后面的 Find , 其他两点稍作思考分析一下结构就知道该怎么判断了。

## 一些题

-   [「BZOJ 2049」[SDOI2008] Cave 洞穴勘测](https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2049)

-   [「SDOI2008」 Cave 洞穴勘测](https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2049)

-   [「BZOJ 3282」Tree](https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3282)

-   [「BZOJ 2002」[HNOI2010] Bounce 弹飞绵羊](https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2002)

-   [「HNOI2010」 Bounce 弹飞绵羊](https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2002)

-   [「BZOJ 2631」tree](https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2631)